专题16 不等式与线性规划-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第16讲不等式与线性规划 考点一：不等式的定义及其解法 一、不等式的定义 1.定义：用不等号（）连接的式子叫不等式 2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形． 3.不等式的性质 1）（反身性或对称性） 2），（传递性） 3） 4），则． 5），，则；如果，，则． 6），则． 7），则． 8），则 二、不等式的解法 1.一元二次不等式的解集如下表 判别式 二次函数（）的图像 一元二次方程（） 有两个相异实根 （） 有两个相异实根 （） 没有实数根 （）的解集 {或} （）的解集 {} 2.分式不等式的解法 1） 2）且 3） 3.无理不等式的解法 1）或 2） 4.绝对值不等式 1）绝对值的几何意义：①是指数轴上点到原点的距离；②是指数轴上两点间的距离 2）当时，或，； 当时，，． 3）绝对值不等式的解法 ①公式法或 ②平方法 ③分情况讨论法 4.高次不等式（穿线法：） 一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1）将最高次项的系数化为正数； 2）将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积； 3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）； 典例精讲 1．若存在唯一的正整数x0，使关于x的不等式x3﹣3x2﹣ax+5﹣a＜0成立，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 3．若，，则P，Q的大小关系是（　　） A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．无法确定 4．若M＝2a2﹣3a+5，N＝a2﹣a+4，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M＜N D．M≤N 5．不等式3的解集是　 　． 6．已知． （1）当时，解不等式f（x）≤0； （2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0． 7．已知a＞0，试比较与的值的大小． 考点二：基本不等式 均值定理 定理：对于任意实数，，当且仅当时，等号成立 推论：如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立． 典例精讲 1已知线段AB的长为6，以AB为直径的圆有一内接四边形ABCD，其中AB∥CD，则这个内接四边形的周长的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 2．已知正数a，b满足a2+b2＝ab+1，则（1）a+2b的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D．1 3．函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（　　） A．2 B．6 C．5 D．10 4．实数xy满足x，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 5．已知锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝1，三角形ABC的面积S△ABC＝1，则a2+b2的取值范围为（　　） A．[） B．（9，+∞） C．[，9] D．[，9） 6．己知x，y＝R+，且满足x2y6，若xy的最大值与最小值分别为M和m，M+m＝　 　． 考点三：线性规划 线性规划的有关概念 1.约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件． 不等式组就是的一个约束条件． 2.线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件，不等式组就是的一个约束条件． 3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式． 如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数． 4.线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式．如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数． 5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题． 6.可行解：满足约束条件的解． 7.可行域：所有可行解组成的集合． 8.最优解：使目标函数取得最值的可行解． 线性规划的图解法 1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为） 2.移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点． 3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值． 典例精讲 1．设实数x，y满足的约束条件，则z＝x+y的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[0，4] 2．已知A＝{（x，y）||x﹣2|+|y﹣2|≤2，0≤x≤2}∪{（x，y）|（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4，x＞2}，若P（x，y）∈A，且使z＝x2+y2﹣2x﹣