第1讲集合初步（1）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（拔高，学生版+教师版）

集合初步（1） 集合的概念，集合的表示方法，集合之间的关系 知识讲解 一、集合的概念 1.集合 某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作； 2.集合的性质 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 二、集合的表示 1.集合的三种表示方法 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 例如：， 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内． 例如：大于的所有整数表示为： 方程的所有实数根表示为：{|} 图示法 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法． 2.常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作； 正整数集，记作或； 整数集，记作； 有理数集，记作； 实数集，记作． 三、集合之间的关系 1.子集关系 定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）； 简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC； 2.真子集关系 对于两个集合与，若且，则集合是集合的真子集，记作（或） 相等关系：对于两个集合与，如果，且 ，那么集合与相等，记作 3.空集 定义：不含任何元素的集合叫做空集 性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。 注意事项： ①与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是 ②与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（） ③与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或 ④显然，， 4.子集个数问题 设集合A中元素个数为，则①子集的个数为，②真子集的个数为，③非空真子集的个数为 典型例题 一．选择题（共4小题） 1．下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}②{a，b}={b，a}③0=∅④0∈{0}⑤∅∈{0}⑥∅⊆{0}其中正确的个数为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【解答】解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确； 根据集合无序性可知②正确； 根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 故选：C． 2．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1}，设集合C={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，则集合C的真子集的个数为（　　） A．7 B．8 C．15 D．16 【解答】解：根据题意，集合A={﹣1，0，1}，B={0，1}，设集合C={z|z=x+y，x∈A，y∈B}， 则C={﹣1，0，1，2}，有4个元素， 则C有24﹣1=15个真子集； 故选：C． 3．若A⊆B，A⊆C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A的个数为（　　） A．4 B．15 C．16 D．32 【解答】解：∵A⊆B，A⊆C， ∴A⊆（B∩C）， ∵B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}， ∴B∩C={0，2，4，6}， ∴A的个数为16， 故选：C． 4．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值组成的集合为（　　） A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1} 【解答】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a=0时，A={x|2x=0}={0}，此时集合A的两个子集是{0}，∅， （2）当a≠0时 则△=4﹣4a2=0解得a=±1， 当a=1时，集合A的两个子集是{1}，∅， 当a=﹣1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，∅． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 　 二．解答题（共11小题） 5．用适当的方法表示下列集合 ①方程x（x2+2x+1）=0的解集； ②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； ③不等式x﹣2＞6的解的集合； ④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合． 【解答】解：①解方程x（x2+2x+1）=0得： x=0或x=﹣1， 故方程x（x2+2x+1）=0的解集为{﹣1，0}； ②在自然数集内，小于1000的奇数