第1讲集合初步（1）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（中档，学生版+教师版）

集合初步（1） 集合的概念，集合的表示方法，集合之间的关系 知识讲解 一、集合的概念 1.集合 某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作； 2.集合的性质 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 二、集合的表示 1.集合的三种表示方法 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 例如：， 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内． 例如：大于的所有整数表示为： 方程的所有实数根表示为：{|} 图示法 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法． 2.常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作； 正整数集，记作或； 整数集，记作； 有理数集，记作； 实数集，记作． 三、集合之间的关系 1.子集关系 定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）； 简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC； 2.真子集关系 对于两个集合与，若且，则集合是集合的真子集，记作（或） 相等关系：对于两个集合与，如果，且 ，那么集合与相等，记作 3.空集 定义：不含任何元素的集合叫做空集 性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。 注意事项： ①与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是 ②与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（） ③与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或 ④显然，， 4.子集个数问题 设集合A中元素个数为，则①子集的个数为，②真子集的个数为，③非空真子集的个数为 典型例题 一．选择题（共10小题） 1．集合M={（1，2），（2，1）}中元素的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：根据题意，集合M={（1，2），（2，1）}中元素为（1，2）和（2，1）， 共2个元素， 故选：B． 　 2．下列关系正确的是（　　） A．0={0} B．∅⊆{0} C．0⊆{0} D．∅⊇{0} 【解答】解：元素与集合之间的关系，只能用“∈”，“∉”， 故A，C错误； 空集是任何集合的子集， 故B正确，D错误； 故选：B． 3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解答】解：根据集合的性质可知，a≠b≠c ∴△ABC一定不是等腰三角形． 故选：D． 4．设集合A={2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a=（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 【解答】解：若1﹣a=4，则a=﹣3， ∴a2﹣a+2=14， ∴A={2，4，14}； 若a2﹣a+2=4，则a=2或a=﹣1， a=2时，1﹣a=﹣1 ∴A={2，﹣1，4}； a=﹣1时，1﹣a=2（舍）， 故选：C． 5．集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示（　　） A．方程y=2x﹣1 B．点（x，y） C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D．函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合 【解答】解：集合{（x，y）|y=2x﹣1}中的元素为有序实数对（x，y），表示点，所以集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合． 故选：D． 6．已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（　　） A．31 B．32 C．3 D．4 【解答】解：∵集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}={x∈N|﹣3≤x≤1}={0，1}， ∴集合A的真子集个数为22﹣1=3． 故选：C． 　 7．设集合，那么（　　） A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅ 【解答】解：由题意可得M={x|x=•180°+45°，k∈Z}={x|x=（2k+1）•45°，k∈Z}， 即45°的奇数倍构成的集合， 又N={x|x=•180°+45°，k∈Z}={x|x=（k+1）•45°，k∈Z}，即45°的整数倍构成的集合， ∴M⊆N， 故选：B．