新高考数学【强基计划】培优生同步专题讲座 9：函数与方程解题能力综合测试

高中强基计划培优生专题讲座9：函数与方程解题能力综合测试 本教材包括高考基础、知识拓展、典型例题、素养提升和强基突破栏目，知识以高考为基础，层次递进，试题涉及高考、自主招生和强基计划，并配有专题训练试题适合学优生培训教材。 w.w.w.k.s.5.u.c 1.已知 （ R）， 且 则a的值有（ D ）. （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个 解：由题设知 为偶函数，则考虑在 时，恒有 ． 所以当 ，且 时，恒有 ． 由于不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ．因此当 时，恒有 . 故选（D）． 2.设 EMBED Equation.DSMT4 且 的图象经过点 ，它的反函数的图象经过点 ，则 等于 . 解：由题设知 化简得 解之得 （舍去）. 故 等于4. 设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则公差为 . 解：设等差数列 的首项为 ，公差为 . 由题设得 即 解之得 . 3.已知函数 的图象如图，则满足 的 的取值范围为 ​​​​​． 解： 因为 ，所以 . 于是，由图象可知， ，即 ，解得 . 故x的取值范围为 ． 4.已知数列 中， ， ， . 求 . 解：由题设， ，则 . ………5分 由 ，得 ，则 . ………………10分 于是 ， 所以 a2007=2007． 易知数列 ， ， ， 符合本题要求． ………………15分 注意：猜得答案 或 ，给2分． 5.设 为指数函数 . 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)， 四点中，函数 与其反函数 的图像的公共点只可能是点 答：[D] A. P B. Q C. M D. N 解 取 ，把坐标代入检验， ，而 ，∴公共点只可能是 点N. 选D. 6.函数 在 上的最小值是 （ C ） A．0 B．1 C．2 D．3 [解] 当 时， ，因此 EMBED Equation.DSMT4 ，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，因此 在 上的最小值为2． 7.已知二次函数 ，则方程 不同实数根的数目为（ ）。 答 选 。 因为 ，所以有 ，因此原方程有 个不同实根。 注 也可以讨论 根的分布情况。因为当 时，函数 单调下降，当 时，函数 单调上升，且 的两个根为 ，所以当 时，函数 ，因此 有两个不同实根；当 时，函数 ，因此 也有两个不同实根。综上所述，原方程有 个不同实根。 8.设 在 上有定义，要使函数 有定义，则a的取值范围为（ ） A． ； B. ； C. ； D. 解：函数 的定义域为 。当 时，应有 ，即 ；当 时，应有 ，即 。 因此，选 B。 9.已知 是偶函数，则函数图象与 轴交点的纵坐标的最大值是（ ） A． B. 2 C. D. 4 解：由已知条件可知， ，函数图象与 轴交点的纵坐标为 。令 ，则 。因此 选 A。 10、设 ，其中 为实数， ， ， ，若 ，则 　 . [解] 由题意知 ， 由 得 ， ，因此 ， ， ． .o.m11、设 ，函数 有最大值，则不等式 的解集为 。 解析：设 ，函数 有最大值，∵ 有最小值，∴ 0<a<1， 则不等式 的解为 ，解得2<x<3，所以不等式的解集为 . 12、若函数 在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]. 答案：所求区间为[1,3]或[-2- EMBED Equation.3 ]. 解 化三种情况讨论区间[a,b]. (1) 若0 a<b, 则f (x)在[ a, b ] 上单调递减，故f(a) =2b, f(b)=2a于是有 ，解之得[ a, b ] = [ 1, 3 ], (2)若a <0 <b, f (x)在[ a, b ] 上单调递增，在[0,b] 上单调递减，, 因此f (x)在x=0处取最大值2b在x=a或x=b处取最小值 2a.故2b= ,b= .由于a<0, 又f(b)=