新高考数学【强基计划】培优生同步专题讲座 4：函数方程解题方法导引

高中强基计划培优生专题讲座4：函数方程解题方法导引 本教材包括高考基础、知识拓展、典型例题、素养提升和强基突破栏目，知识以高考为基础，层次递进，试题涉及高考、自主招生和强基计划，并配有专题训练试题适合学优生培训教材。 在国内外数学竞赛的大学自主招生中函数迭代问题和函数方程问题备受命题者的青睐，形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类:㈠探求函数的解析式；㈡探求函数的值；㈢讨论函数的性质.我们将通过具体例题介绍这几类问题的一些基本方法和技巧. [基础知识] 1、定义：含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x＋1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)=-f(x)、f(x＋2)=f(x)等,其中f(x)是未知函数 2、函数方程的解：能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解 3、解函数方程：求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程 4、定理（柯西函数方程的解）：若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x＋y)=f(x)＋f(y)(x,y∈R),则f(x)=xf(1) 证明：由题设不难得 f(x1＋x2＋…＋xn)=f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn) 取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+) 令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1） x=1，则f(n)=nf(1) x= ，则f(m)=nf( ) ，解得f( )= f(m)= f(1) --------- (2) x=- ，且令y=－x＞0，则f(x)＋f(y)=f(x＋y)=f(0)=0 ∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3) 由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1) 另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列{xn}，则有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1) 综上所述，对于任意实数x，有 f(x)=xf(1). 5、抽象函数与原型函数 抽象函数满足条件 代表函数 1 （ ） 2 （ ） 3 （ ） 4 5 6 7 8 或 [典型例题] 1、定义法（凑法） 例1 已知 ，求 。 2、换元法 换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量 适当换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解。 例2 已知 ，求 。 例3 已知 ，求 。 3、解方程法 例4（32美国）设F（x）是对除 及 以外的一切实数有定义的实值函数，并且 ,求F（x） 4、赋值法 赋值法的基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的. 例5 设 是定义在R上的不恒等于零函数, ，且对任意 恒有 ，证明： （1） ； （2） ； （3 5、待定系数法 基本思想是:当 是多项式时,可设 ,代入函数方程两端,然后比较方程两端 最高次幂的指数和 的同次幂的系数,便可得出关于 及 的方程组,解这个方程组便可确定 及 的值(当 已知时,则不必求 ),从而得到函数方程的解. 例6 已知 为多项式函数，且 ，求 6、递推法 基本思想是:当 是定义在自然数集 (或记为 )上的函数(实际上就是通项为 的数列)时,可根据题中所给函数方程,通过取特殊值得到关于 的递推关系,然后根据递推关系求出 (即数列 的通项表达式). 例7 已知 是定义在自然数集 上的函数且对任意的 ,都满足 ,求 . 7、数列法 例8 已知 （常数） ,有 ,p，q是常数，且 ，求 。 8、参数法 例9 已知 ，求 。 9、数学归纳法 例10 设 是定义在 上的增函数，且 ，求证： 。 10、柯西法 柯西(Cauchy,1789～1857年,法国数学家)首先讨论了一个很重要的函数方程 的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出对所有自然数值、整数值、有理数值,直至所有实数值的函数方程的解，又称爬坡法. 例10 是定义在有理数集上的实值函数,且对任意有理数 有 ，试求 . [注]利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得： （1）若f(xy)=f(x)＋f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=㏒ax （2）若f(xy)=f(x)f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=x2 （3）若f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋kxy,则f(x)=ax2＋bx （4）若f(x