新高考数学【强基计划】培优生同步专题讲座 7：函数性质及其应用方程解题方法导引

高中强基计划培优生专题讲座7：函数性质及其应用 解题方法导引 本教材包括高考基础、知识拓展、典型例题、素养提升和强基突破栏目，知识以高考为基础，层次递进，试题涉及高考、自主招生和强基计划，并配有专题训练试题适合学优生培训教材。 一、函数解析式问题 例1．把函数 表示为两个次数不同的实系数多项式函数平方差的形式． 解：设 ，由题意， 为二次多项式， 的次数低于2次，故可设 ， ， ，上式为完全平方式， 得， 得 ，故可得： ． 二、函数的基本性质 例2．已知 （a、b；实数）且 ，则 的值是 （ ） （A） （B） （C） 3 （D） 随a、b取不同值而取不同值 解：注意到 ，设 EMBED Equation.3 是奇函数，从而 即 ， ，选（C）． 例3．对实数 ，求函数 的最大值．（96年美国中学数学竞赛题） [解法一]： 的定义域为[6，8]， ，当 时， ； ，当 时， ，从而当 时 有最大值 ． [解法二]： 定义域为[6，8]，令 ， ， ． ， ……（1）． ， 代入（1）得： ，易知 ， ……（2） ， ，当 时（1）、（2）同时取等号．故 有最大值 ． [解法三]： 的定义域为[6，8]， ， ， 在[6，8]上是减函数，从而当 时 有最大值 ． 评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若 ， 同时在 处取得最大值，则 在 处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若 在闭区间[a,b]上为单调函数，则 在端点处取得最值”． 例4．已知 为非零实数， ， ，且 ，若当 时，对于任意实数 ，均有 ，试求出 值域以外的唯一数． 分析：（第15届美国数学邀请赛，值域问题）19与97是方程 的两根．即方程 的两个根，故有 ． 得 ，由于上述方程对 恒成立,故 且 ，且 ．从而可得 ，从而 ，于是 取不到58这个数． 三、构造函数 1、构造函数解方程或求函数值． 例5．求函数 的图象与 轴的交点坐标． 分析：利用函数奇偶性、单调性．观察发现， ． 解：令 ，易知 是奇函数，且是增函数． ，当 时有 得 ． 例6．设 是一个98次的多项式，使得 ．求 的值． 解：构造函数 ，则 ，且 是99次多项式，所以可设 ，侍定出 值即可．又 ，即 ， ，∴ ，∴ ． 例7．设 ≥ ≥ ≥ ≥2，且 ＋ ＋ ≥ ，证明： ． 证明：令 ＝ ＋ ＋ , ,则原不等式为 ,即 =0，令 = ,则只需证明 ≤0．因 ，而 ≤ ，所以 ,从而 ＞0， 与 轴有两个不同的交点．易知这两个交点为 ，下证 ∈[ ]． EMBED Equation.3 ，只需证[ ] [ ],即 ,由于 ， 所以 ∈[ ]，从而必有 ≤0． 解法二：只需证明 ≤0，而 ，因此只需证 而 ， ，由 可证得 说明：通过构造二次函数，然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问题简化． 2、构造函数证不等式． 例8．设 是绝对值小于1的实数，证明： ． 证明：构造一次函数 ．它的图象是一条线段，但不包括两个端点，若能证明其两个端点的函数值 和 均大于0，则定义域内的每一点 ， 恒成立． ， ，故则定义域内的每一点 ， 恒成立．故 ． 说明：构造一次函数是解题的关键． 例9．证明柯西不等式：设 是实数，则 ． 证明：若 ＝0，此时命题显然成立．若 ≠0，构造一个二次函数 ＝ 恒成立，故 ，命题得证． 说明：对于要证明 ，可将其变形为判断 的符号，从而构造二次函数 ，再设法证明其判别式非正或非负． 例10．设 都是实数，且满足 ， 求证： ． 证明： 时，显然成立． 当 时，构造函数 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ＝ ，此二次函数图象是开口向下的抛物线，且 ．故抛物线一定与 轴有交点，从而 ，命题得证． 四、函数方程 例11、、设函数 且严格递增， ，求 解：由 ，将 换为 ，有 ，又将原式两边取函数 值有 ，故 。 若 ，则 矛盾，故设 ， ，此时 ，所以 ， ， 中间必有 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 【素养提升】 1．已知集合 ，集合 ，映射 表示把集合 中的元素 映射到集合 中仍为 ，则以 为坐标的点组成的集合 有元素 （ C ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】显然 ，∴ 有6组解， 2．已知 是函数 的一个零点， 是函数 的一个零点，则 的值为 （ B ） A．1 B．2008