新高考数学【强基计划】培优生同步专题讲座 6：函数基本性质的解题方法导引

高中强基计划培优生专题讲座6：函数基本性质的解题方法导引 本教材包括高考基础、知识拓展、典型例题、素养提升和强基突破栏目，知识以高考为基础，层次递进，试题涉及高考、自主招生和强基计划，并配有专题训练试题适合学优生培训教材。 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. [典型例题] 一、构造函数 例1、已知x＝ 是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x－ ∴ x2－2 x＋19＝99，即 x2－80＝2 x 再平方得x4－160x2＋6400＝76x2，即 x4－236x2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c＝6400，b＋c＝6164 例2、解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0 ⑴解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0 即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x) 构造函数f(x)＝x2001＋x，原方程等价于f(x＋8)＝f(－x) 而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数，于是有x＋8＝－x，x＝－4为原方程的解 　　例3、设f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求 [f⑷＋f(0)]的值. 解：由已知，方程f(x)＝x已知有三个解，设第四个解为m， 记 F(x)＝f(x)－x＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m) ∴ f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)＋x f⑷＝6(4－m)＋4 f(0)＝6m∴ [f⑷＋f(0)]＝7 二、单调性 例4、已知定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2. （1）求证：f(x)为奇函数； （2）当t>2时，不等式f(klog2t)+f(log2t－log22t－2)<0恒成立，求实数k的取值范围. 【思路分析】由f(x)的定义域为R，从其特殊点，即x=y=0入手来解此题. 【略解】（1）令x=y=0得 f(0)=2f(0), ∴f(0)=0. 再令y=－x, 得f(0)=f(x)+f(－x), ∴f(－x)=－f(x), 即f(x)为奇函数. （2）∵f(0)=0, f(1)=2,且f(x)是R上的单调函数，故f(x)是R上的单调递增函数.又f(x)是奇函数. 由 得klog2t<log22t－log2t+2,即log22t－(k+1)log2t+2>0, ∴(k+1)2－8<0，∴－2 <k+1<2 , ∴－1－2 <k<－1+2 .故使不等式恒成立的实数k的范围是（－1－2 ，2 －1）. 三、奇偶性 例5、设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 时，f(x)＝x，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1。选A 例6、设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2,求f(2)+f(3)的值. 【思路分析】要抓住函数为奇函数且周期为3进行变形求值. 【略解】对定义在R上的奇函数，必有 f(0)=－f(0),即f(0)=0. ∴f(3)=f(0)=0, f(2)=f(－1+3)=f(－1)=－f(1)=－2. ∴f(2)+f(3)=－2. 例7、设f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间（0，+∞）上的最大值是5，求F(x)在（－∞，0）上的最小值. 【思路分析】应注意F(x)－2是奇函数，这是解题的一条途径. 【略解】令 (x)=F(x)－2=af(x)+bg(x), 易知 (x)为奇函数，且在（0，+∞）上有最大值3. ∴ (x)在（－∞，0）上有最小值－3. 故F(x)在（－∞，0）上的最小值为－1. 【评述】将代数式转化为奇函数的思想十分重要，应注意掌握这种“转化思想”. 例8、设函数f(x), 对任意x, y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0时，f(x)<0且f(1)=－2. （1）证明：f(x)是奇函数； （2）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值. 【思路分析】因为x∈R，由区间的特殊点，即x=0入手，是解题的出发点. 【略解】（1）令x=y=0,则有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 再令y=－x，得f(0)=f(x)+f(－x)