专题16 数列的通项与求和-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅰ专版）

专题16 数列的通项与求和 【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】数列满足，前16项和为540，则 . 【答案】 【解析】， 当为奇数时，； 当为偶数时，. 设数列的前项和为， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题. 【命题意图】 根据数列的递推关系式考查数列的求和，主要考查转化与化归的思想以及运算能力. 【命题规律】 高考常出现由递推关系考查等差或等比数列的通项与前n项和，递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.求数列的前n项和，根据数列的不同特点选择相应的方法即可.[ 【方法总结】 1.由递推关系式求通项公式 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解. 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下： （1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式． （2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式． （3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解． （4）：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解． （5）：把原递推公式转化为，解法同类型3． （6）：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解． （7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解． （8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可． （9）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可． 2.求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法： （1）公式法求和：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和. （2）倒序相加法：如果一个数列的前项中，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法. （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求. （4）裂项相消法：即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点. 常见的裂项方法： ①，特别地，当时，； ②，特别地，当时，； ③. （5）分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见的特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. （6）并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 1．（湖南省怀化市2020届高三下学期一模数学试题）已知数列的前项和为，且，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】又符合上式，故 2．（四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学试题）已知数列满足，，则数列的前项和为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用累乘法求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法可求数列的前项和. 【详解】 ，，则， ， 所以，数列的前项和为. 故选：A. 【点睛】 本题考查利用裂项相消法求和，同时也考查了利用累乘法求数列通项，考查计算能力，属于基础题. 3．（2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学试题）设数列的前项和为，满足，则 A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用时,化简已知条件, 当为偶数时，,求得,代值即可求得结果. 【详解】 数列的前项和为,满足, 当为偶数时，，即有 所以 故选:D. 【点睛】 本题考查利用与的关系求得,考查数列求和问题,难度一般. 4．（吉林省长春市2020届高考数学二模试卷）已知数列的前项和为，且，（），则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题得再利用累乘法求出，即得. 【详解】 由题得（） 所以（） 由题得，所以（）. 所以 所以. 所以. 故选：B 【点睛】 本题主要考查数列通项的求法，考查数列前项和与的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．（吉林省吉化第一高级中学校2020届高三下学期适应性测试数学试题）数列，若，，则 A． B． C． D． 【答