第一章 数与运算（2）（有理数，实数）-备战2021年中考数学考点帮（上海专用）

第一章 数与运算（2） 1.4 有理数 知识梳理 1．整数和分数统称为有理数． 2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 3．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 4．任何两个有理数都可以比较大小． 正数大于零，零大于负数，正数大于负数． 5．只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零． 6．一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零． 7． 两个负数，绝对值大的那个数反而小． 有理数的运算 1．有理数加法法则： （1）同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加． （2）异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号． （3）一个数同零相加，仍得这个数． 2．有理数加法的运算律： （1）交换律：； （2）结合律：． 3．有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数．即． 4．有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数与零相乘，都得零． 注意：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个数相乘，有因数为零，积就为零． 5．有理数乘法的运算律： （1）交换律：； （2）结合律：； （3）分配率：． 6．有理数除法法则： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 注意：（1）零除以任何一个不为零的数，都得零； （2）甲数除以乙数（零除外），等于甲数乘以乙的倒数． 7．有理数的乘方： 求个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，记作，读作的次方，的结果读作的次幂．其中叫做底数，叫做指数，乘方的结果叫做幂． 规定：，（为正整数）．a=1( a≠0) a= 注意：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． 8．有理数的混合运算： 有理数混合运算的顺序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号． 9．科学计数法： 把一个数写成的（其中，是正整数），这种形式的记数方法叫做科学计数法． 10.有理数指数幂 把指数的取值范围扩大到分数，我们规定： ，，其中、为正整数，． 上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数． 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 例题精讲 【例1】计算： ． 【参考答案】． 【例2】一个数的相反数是2，则这个数是（ ） ．； ．； ．； ．. 【参考答案】． 【例3】 下列关于“0”的说法中，正确的是（ ） ．0是最小的正整数； ．0没有相反数； ．0没有倒数； ．0没有平方根． 【参考答案】． 【例4】的倒数是 ． 【参考答案】． 【例5】的绝对值等于 ． 【参考答案】． 【例6】数轴上点到原点的距离为2.5，则点所表示的数是（ ） ．2.5 ．-2.5 ．2.5或-2.5 ．0 【参考答案】． 【例7】已知实数、在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【例8】当时，化简：= ． 【参考答案】 1.5 实数 知识梳理 实数的概念 1．无限不循环小数叫做无理数． 2．有理数和无理数统称为实数． 实数可以进行以下分类： 思考：不是吗？为什么是有理数呢？ 平方根和开平方 1．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根． 求一个数的平方根的运算叫做开平方，叫做被开方数． 2．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 3．正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号”，表示的负平方根，读作“负根号”．零的平方根记作，． 4．平方根的性质： （1）当时，，． （2）当时，； 当时，． 立方根和开立方 1．如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，记作“”，读作“三次根号”．中的叫做被开方数，“3”叫做根指数．求一个数的立方根的运算叫做开立方． 2．任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根． 3．立方根的性质： （1）． （2）． 次