新高考数学【强基计划】培优生同步专题讲座 1：集合基本问题的解题方法导引

高中强基计划培优生专题讲座1：集合基本问题的解题方法导引 本教材包括高考基础、知识拓展、典型例题、素养提升和强基突破栏目，知识以高考为基础，层次递进，试题涉及高考、自主招生和强基计划，并配有专题训练试题适合学优生培训教材。 【高考基础】 1.已知全集，集合，则为 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】,所以,选C. 2.已知集合；,则中所含元素 的个数为（ ） 【答案】D 【解析】要使,当时，可是1，2，3，4.当时，可是1，2，3.当时，可是1，2.当时，可是1，综上共有10个，选D. 3.集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】， ，故选C. 【知识拓展】 1、 元素的个数： . 2、含 个元素的集合的子集个数为 ；真子集(非空子集)个数为 ；非空真子集个数为 . 3、德摩根公式 . 【典型例题】 题型1：概念理解 例1、已知 【思路分析】先进一步确定集合A、B. 【略解】 又 ∴A= 例2、设 ＝{ | ＝ , }，求证： （1） ∈ ( )； （2） 分析：如果集合 ＝{ | 具有性质 }，那么判断对象 是否是集合 的元素的基本方法就是检验 是否具有性质 。 解：（1）∵ , ∈ 且 ＝ ,故 ∈ ； （2）假设 ，则存在 ，使 ＝ 即 (*) 由于 与 具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此， 。 题型2：集合运算 例3、集合A={（x,y） },集合B={（x,y） ,且0 }， 又A ，求实数m的取值范围. 解：由 得 设 由数形结合得: 解得： 例4（全国高中联赛）若非空集合 ， ，则能使 成立的所有a的集合是______________________。 解： ，所以 . 例5、设 是两个实数，且 都是坐标平面XOY内的点集，讨论是否存在a和b，使得 与 同时成立？ 解：要使 ，则方程组 必有整数解，也即方程 有整数根，于是 ① 且 为一整数） ② 又 ③ 那么由①、③两式得 ，于是 ，从而推得 故 ，但 EMBED Equation.3 不满足②式。 所以，不存在a、b，使得 同时成立。 例6、 设函数 ，集合 ， 。 （1）证明： ； （2）当 时，求 。 解：（1）设任意 ∈ ，则 ＝ .而 故 ∈ ,所以 . （1） 因 ，所以 解得 故 。由 得 解得 ， ＝{ 。 例7 、已知集合： 问 （1） 当 取何值时， 为含有两个元素的集合？ （2） 当 取何值时， 为含有三个元素的集合？ 解： = 。 与 分别为方程组 （Ⅰ） （Ⅱ） 的解集。由（Ⅰ）解得（ ）=（0，1）=（ ， ）；由（Ⅱ）解得 （ ）=（1，0），（ ， ） （1） 使 恰有两个元素的情况只有两种可能： ① ② 由①解得 =0；由②解得 =1。 故 =0或1时， 恰有两个元素。 （2） 使 恰有三个元素的情况是： = 解得 ，故当 时， 恰有三个元素。 题型3：归纳思想 例8、设 是自然数，A、B是整数集 的真子集，且 求证： 或B中必有两个不同的数的和为完全平方数（竞赛题）. 证明 假设结论不成立，即存在两个真子集A与B，满足 使得无论A还是B中任何两个不同的数的和都不是完全的平方数.设 ，则 ，否则 ，从而 ，由 推知 ，又由 推 ，因为 ，故15或在A中，或在B中，当 时，由 知 ，产生矛盾，当 时，由 知 ，矛盾. 例9、设 是正整数， 是介于 和 之间且含此两个整数 的全部整数所成的集合.是否可能把 分成两个子集A和B，使得 （届IMO预选题） 解：设 令 ，则 从而表明可以把 分成两个子集A和B，使得 题型4：计数问题 例10、正整数集合 的最小元素为 ，最大元素为 ，并且各元素可以从小到大排成一个公差为 的等差数列，则并集 中的元素个数为（ ）． 、 、 ； 、 ； 、 . 答案： ；解：用 表示集 的元素个数，设 ，由 ，得 ，于是 ， ， ；从而 ． 题型5：分类讨论 例11、 ，试求实数 的取值范围，使 。 解：依题意得： …………………………………………………2分 （1） 当 ， ；………………5分 （2） 当 , 要使 ，则 ，解得：