新高考数学【强基计划】培优生同步专题讲座 3：指数函数与对数函数的解题方法导引

高中强基计划培优生专题讲座3：指数函数与对数函数的解题方法导引 本教材包括典型例题、素养提升栏目，知识以高考为基础，层次递进，试题涉及高考、自主招生、强基计划和数学竞赛，适合学优生培训教材。 【典型例题】 例1、已知函数f（x）满足 ． （1） ＜0，求实数m的集合； （2）当x∈（－∞，2）时，f（x）－4的值恒为负数，求a的取值范围． 例2、若x满足2（log ）2－14log4x+3≤0，求f（x）= 最大值、最小值． 例3、 （1） 证明：函数f（x）在（－1，+∞）上为增函数； （2） 用反证法证明方程f（x）=0没有负数根． 例4、已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(－x)，且当x((-1,0)时，f(x)=2x. ①证明：f(x+4)=f(x)；②求f( )的值. 分析：①证明：∵f(x+2)=f(－x)(f(x+2)=－f(x) ∴f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x) ②f( )=－f(log218)=－f(log218－4)=－f(log2 )=f(log2 )= 例5、解方程lg(4x+2)=lg2x+lg3. 分析：∵lg(4x+2)=lg2x+lg3( lg(4x+2)=lg(3•2x)(22x－3•2x+2=0(2x=1或2x=2(x=0或x=1 例6、设f(x)= ，解不等式f(x)>1. 分析：∵f(x)>1( 或 (x<－1或x>1 ∴所求不等式的解集为(―∞,―1)∪(1,+∞). 例7、设f(x)= ，求f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6). 分析：∵f(－x)+f(x+1)= + = = ∴f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3 . 学生思考：设f(x)= ，求f( )+f( )+…+f( ). 分析：x+y=1(f(x)+f(y)=1 例8、求函数f(x)=3•4x－2x (x≥0)的最小值. 分析：∵f(x)=3•4x－2x=3(2x－ )2－ ，∵x≥0(2x≥1，∴当2x=1(x=0时，f(x)min=2 例9、设函数f(x)=|lgx|，若0<a<b且f(a)>f(b)，证明：ab<1. 分析：∵f(x)=|lgx|= ∵0<a<b且f(a)>f(b)，∴a、b不能同时在区间[1,+∞)上 ∵0<a<b(a((0,1)，∴若b((0,1)，显然ab<1 若b([1,+∞)，则f(a)>f(b)(－lga>lgb(lg(ab)<0(ab<1 例10、设不等式2( )2+9 +9≤0的解集为M，求当x(M时，函数f(x)=(log2 )(log2 )的最大值、最小值. 分析：∵2( )2+9 +9≤0(―3≤ ≤― ( ≤log2x≤3(2 ≤x≤8，∴M=[2 ,8]，∵f(x)=(log2 )(log2 )=(log2x－1)(log2x－3)=(log2x－2)2－1 ∵2 ≤x≤8( ≤log2x≤3，∴当log2x=2(x=4时，ymin=－1 当log2x=3(x=8时，ymax=0. 例11、已知实数t满足关系式loga =logt (a>0,a≠1) ①令t=ax，求y=f(x)的表达式； ②若x((0,2)时，ymin=8，求a和x的值. 分析：①∵loga =logt (logat－3=logty－3logta，∵t=ax(x=logat ∴x－3= － (logay=x2－3x+3(y= (x≠0) ②令u= x2－3x+3=(x－ )2+ (x≠0)，则y=au ，∵x((0,2]时，ymin=8 ∴当0<a<1时，y=au有最小值，则u=(x－ )2+ 在(0,2]上应有最大值，但u在(0,2]上不存在最值. 当a>1时，y=au有最小值，则u=(x－ )2+ 在(0,2]上应有最小值 ∵当x= 时，umin= (ymin= ，∴ =8(a=16，∴a=16, x= 例12、解不等式| +2|> . 分析：| +2|> ( +2<－ 或 +2> (log2x<0或log2x>2或0<log2x< (0<x<1或x>4或1<x< . 例13、解不等式 + EMBED Equation.3 +2>0. 分析：∵ + EMBED Equation.3 +2>0( － log2x+2>0 令t= (t≥0) ∴t－ t2+ >0 (t≥0)(0≤t<1(0≤ <1(1≤log2x<2(2≤x<4 ∴所求不等式的解集为[2,4) 例14、已知a、b、c、d均为正整数，且logab= , logcd= ，若a－c＝9，求b－d. 分析：∵logab= , logcd= (b= , d= (a=( )2, c=( )4　(*)(a|b, c|d ∵a－c＝9(( )2－( )4=9(