山东省莱芜一中2020-2021学年高三第上学期第一次质量检测（数学）

第一次质量检测数学试卷答案 一、选择题 1-5.DABDA 6-8.ACB 9.ACD 10.AB 11.BD 12.AD 二、填空题 13. 14.3 15.（0,1） 16（1）（2） 三、解答题 17.【解答】解：（1）因为，且为第四象限角，所以， 可得 （2）因为tan＝2，所以． 18.解：（1）若选条件①，∵， ∴由正弦定理得， ∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC， ∴＝， ，∵sinC≠0，∴，∵0＜A＜ð，∴； 若选条件②，∵2acosA＝bcosC+ccosB， ∴由正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosA＝sin（B+C）＝sinA， ，∵0＜A＜ð，∴； 若选条件③，∵，∴由正弦定理得， ∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴＝sinAcosC+cosAsinC， ，∵sinC≠0，∴，∵0＜A＜，∴； 所以不管选择哪个条件，． （2）a2＝b2+c2﹣2bccosA， ，即b2+c2﹣bc＝3， ∵b2+c2≥2bc，∴2bc﹣bc≤3，即bc≤3，当b＝c时等号成立．∴bc的最大值为3， ∵， 复制发布19.解：（1）当0＜x＜90时，； 当x≥90时，， ∴． （2）①当0＜x＜90时，≤1600， ②当x≥90时，＞1600， 当且仅当，即x＝90时，y取得最大值，最大值为1800万元． 综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元． 20.解：（1）∵＝cos2x+sin2x+sinxcosx＝×+×+sin2x＝sin2x﹣cos2x+1＝sin（2x﹣）+1， ∴f（x）的最小正周期T＝＝ 令2k﹣≤2x﹣≤2k+，k∈Z，可得：k﹣≤x≤k+，k∈Z， 可得单调递增区间为：[k﹣，k+]，k∈Z． （2）∵x∈，可得2x﹣∈[﹣，]， ∴当2x﹣＝﹣时，f（x）最小值为，相应的x＝﹣； 当2x﹣＝时，f（x）最大值为，相应的x＝． 21.（I）.解：（1）当时，， ∴f'（x）＝（x+1）ex﹣x﹣1＝（x+1）（ex﹣1）．令f'（x）＝0，得x＝1或0， ∴f（x），f'（x）随x变化情况如下表： x （﹣∞，﹣1） ﹣1 （﹣1，0） 0 （0，+∞） f'（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 增 极大值 减 极小值 增 ∴f（x）在x＝﹣1处取得极大值，在x＝0处取得极小值f（0）＝0． （2）当x＝0时，不等式恒成立． 当x＞0时，不等式f（x）≥0，即xex﹣ax2﹣x≥0，等价于ex﹣ax﹣1≥0， 令g（x）＝ex﹣ax﹣1，∴g′（x）＝ex﹣a．∵x＞0，∴ex＞1， 当a≤1时，g′（x）＝ex﹣a≥0，g（x）单调递增， ∴g（x）＞g（0）＝0，不等式成立，当a＞1时，g′（lna）＝0． ∴x∈（0，lna），g'（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0，这与题设矛盾， 综上，a的取值范围为（﹣∞，1]． 22.（1）解：或a+1， ①a＜0时，a+1＜1，f（x）在（﹣∞，a+1）单调递减，（a+1，1）单调递增，（1，+∞）单调递减； ②a＝0时，a+1＝1，f（x）在R单调递减； ③a＞0时，a+1＞1，f（x）在（﹣∞，1）单调递减，（1，a+1）单调递增，（a+1，+∞）单调递减； （4分） （2）证明：，， 令h（x）＝ex+x﹣（a+1），h（0）＝﹣a＜0，h（1）＝e﹣a＞0， ∴∃x0∈（0，1），使得①， ∴g（x）在（﹣∞，x0）单调递增，（x0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增； 所以g（x）有唯一极大值x0． （7分） ∴②（9分） 现在证明：．， 令，则，m（x）在（0，1）单调递增， 所以，即③ 综上，有②③可知：（12分） ( 第 1 页 共 4 页 ) $$ 莱芜一中 20-21 学年度上学期高三第一次质量检测 数学试题 命题人：杨萍 审核人：邵萍 苏晓会 本试卷共 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的级部、班级、姓名、准考证号、填写在答题卡上。 2．选择题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用 0.5mm 中性笔将答案写在答题卡对应题目 的规定区域。答在答题卡的规定区域之外或本试卷上无效。 3．考试结束后只需将答题卡交回。 一、选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.1-8 为单选题，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是最符