专题58 三角形中作辅助线造相似-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题58 三角形中作辅助线造相似 1、如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12． （1）求AC边上的高BH的长； （2）如图2，点D、E分别在边AB、BC上，G、F在边AC上，当四边形DEGF是正方形时，求DE的长． 解：（1）过点A作AN⊥BC于N， ∵AB＝AC＝10，BC＝12，AN⊥BC， ∴BN＝CN＝6， ∴AN＝＝＝8， ∵S△ABC＝AC×BH＝BC×AN， ∴BH＝＝9.6； （2）如图2，设BH与DE交于点M， ∵四边形DEGF是正方形， ∴DE＝EG＝DF，DE∥AC，∠EDF＝∠DFC＝90°，且BH⊥AC， ∴四边形DFHM是矩形， ∴DF＝MH， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∴ ∴DE＝． 2、【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝， ∴AD＝． （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 3、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8． （1）求证：四边形AEFD为菱形． （2）求四边形AEFD的面积． （3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由． （1）证明：如图1中， ∵AE∥DF，AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°， ∵E，D分别是OC，OB的中点， ∴CE＝BD， ∴△CAE≌△ABD（SAS）， ∴AE＝AD， ∴四边形AEFD是菱形． （2）解：如图1中，连接DE． ∵S△ADB＝S△ACE＝×8×4＝16， S△EOD＝×4×4＝8， ∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24， ∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48． （3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K， ∵OE＝OD＝4，OK⊥DE， ∴KE＝KD， ∴OK＝KE＝KD＝2， ∵AO＝8， ∴AK＝6， ∴AK＝3DK， ①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形： 如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M，设AM＝t． ∵菱形PAQG∽菱形ADFE， ∴PH＝3AH， ∵HN∥OQ，QH＝HP， ∴ON＝NP， ∴HN是△PQO的中位线， ∴ON＝PN＝8﹣t， ∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°， ∴△HMA∽△PNH， ∴＝＝＝， ∴HN＝3AM＝3t， ∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t， ∵PN＝3MH， ∴8﹣t＝3（8﹣3t）， ∴t＝2， ∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12， ∴P（12，0）． 如图3中，过点H作HI⊥y轴于I，过点P作PN⊥x轴交IH于N，延长BA交IN于M． 同法可证：△AMH∽△HNP， ∴＝＝＝，设MH＝t， ∴PN＝3MH＝3t， ∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8， ∵HI是△OPQ的中位线， ∴OP＝2IH， ∴HIHN， ∴8+t＝9t﹣24， ∴t＝4， ∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24， ∴P（24，0）． ②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形： 如图4中，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH