第一章 数与运算（1）（数的整除，分数，比和比例）-备战2021年中考数学考点帮（上海专用）

第一章 数与运算（1） 1.1 数的整除 知识梳理 整数和整除 1、 自然数：零和正整数统称为自然数。 2、 整数：正整数、零、负整数统称为整数。 3、最小的自然数是零，没有最大的自然数。 4、整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b 能整除a. 5、 整除的条件： ①除数、被除数都是整数； ②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 6、因数和倍数 整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。 7、倍数和因数是相互依存的 8、一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 9、一个整数没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。 9、能被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。 10.能被5整除的数：个位上是0或者5的整数都能被5整除 11.能被2整除的整数叫做偶数， 不能被2整除的整数叫做奇数。 备注：这里所说的奇数和偶数是指正奇数和正偶数。当研究的数从正整数范围扩大 到整数范围时，…，—4，—2,0等也是偶数，…，—5，—3，—1等也是奇数。 分解素因数 1.素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数。 2.合数：一个正整数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。 3.“1”既不是素数，也不是合数。 4.正整数可以分为1、素数、合数三类。 5.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个 合数的素因数。 6.分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 7.短除法：在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”。 8.短除法分解素因数的步骤： 1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。 2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。 3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写出连乘的形式。 9.几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 10.互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。 11.素数和互素的区别： 素数是对于一个数来讲的，互素是对于两个数来讲的。 12.求几个数的最大公因数，只要把他们所有公有的素因数连乘，所得的积就是他们的最大 公因数。 13. 两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数， 如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1。 14. 公倍数与最小公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它 们的最小公倍数。 15. 求两个整数的最小公倍数：只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数， 将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。 16. 如果两个整数中某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数。如 果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。 拓展： 1、 求三个整数的最小公倍数。 2、 区别求两个整数的最小公倍数与求三个整数的最小公倍数。 3、 1到100以内的素数表的制作： 1）划去1； 2）圈出10以内的素数； 3）划去2的倍数； 4）划去3的倍数； 5）划去5的倍数； 6）划去7的倍数； 7）把没有划去的数排列起来即可。 例题精讲 【例1】已知42=6×7，6和7都是42的（ ） .素因数； .合数； .因数； .倍数. 【参考答案】． 【例2】4 与 6 的最小公倍数是（ ） ．2； ．4； ．6； ．12． 【参考答案】． 【例3】下列数中能同时被2、3整除的是（ ） ．1.2； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【例4】两个连续的正整数的积一定是（ ） ．素数； ．合数； ．偶数； ．奇数． 【参考答案】． 【例5】最小的素数是 ． 【参考答案】2． 【例6】分解素因数：12= ． 【参考答案】12=2×2×3． 【例7】12和15的最大公因数是 ． 【参考答案】3． 模拟题专练 一、单选题 1．（2020·上海市静安区实验中学初三专题练习）下列说法中正确的是（ ） A．一个数的倍数总比它的因数大 B．任何正整数的因数至少有