专题17 等差数列与等比数列-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅰ专版）

专题17 等差数列与等比数列 【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【解析】（1）设的公比为，由题设得 即. 所以 解得（舍去），. 故的公比为. （2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以 ， . 可得 所以. 【命题意图】 考查等差、等比数列的基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列的求和问题. 【命题规律】 数列一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减法求和及裂项相消法求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 【方法总结】 1.等差数列的判定与证明的方法： （1）定义法：或是等差数列； （2）定义变形法：验证是否满足； （3）等差中项法：为等差数列； （4）通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； （5）前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意： （1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 2.等比数列的判定与证明常用的方法： （1）定义法：为常数且数列是等比数列． （2）等比中项法：数列是等比数列． （3）通项公式法：数列是等比数列． （4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意： （1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 3.数列求和的常用方法 （1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和； （2）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的； （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的； （4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； （5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减； （6）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 4.数列与函数综合 （1）数列与函数的综合问题主要有以下两类： ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． （2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 5.数列与不等式综合 与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性，其中利用不等式放缩证明是历年命题的热点． 6.以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解. 1．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考数学试题）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，用等差数列的基本量转化条件，求得首项和公差，则问题得解； （2）根据（1）中所求，用裂项求和法即可求得结果. 【详解】 （1）设的公差为，因为， ，成等比数列 ，可得， ，，所以， 又,解得，， ； （2） 【点睛】 本题考查利用等差数列的基本量求通项公式，以及用裂项求和法求数列的前项和，涉及等比中项的应用，属中档题. 2．（甘肃省天水市一中2020届高三一轮复习第一次模拟考试数学试题）在正项等比数列{}中，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列{}满足，求数列{}的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件且可解得公比,再代入通项公式即可得到; （2）利用错位相减法可求得. 【详解】 设正项等比数列{an}的公比为(, （1）∵∴,所以 ∴q＝2，(舍去) 所以； （2）∵， ∴，① ，② ①﹣②得＝， ∴. 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题. 3．（