专题18 解三角形综合-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅰ专版）

专题18 解三角形综合 【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 【解析】（1）由题设及余弦定理得， 解得（舍去），，从而. 的面积为． （2）在中，，所以 ， 故. 而，所以，故. 【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 【命题意图】 （1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. （3）考查数形结合能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象. 【命题规律】 解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 常见的命题角度有： （1）直接利用正、余弦定理解三角形； （2）与三角形面积有关的问题； （3）三角形形状的判断； （4）解三角形与三角恒等变换相结合． 【答题模板】 解答此类题目，一般考虑如下四步： 第一步，定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向. 第二步，定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步，求结果. 第四步，再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形. 【方法总结】 （一）利用正、余弦定理求边和角的方法： （1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置． （2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. （3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论： （1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等． （2）三角形中的三角函数关系： ； ； ； . （二）利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路： （1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. （2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解. （三）求三角形面积的方法 （1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解． （2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． （四）三角形中，已知面积求边、角的方法 三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． （五）三角形中的综合问题 （1）解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题. （2）注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等. （3）正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解. 1．（湖北省金字三角2020届高三下学期高考模拟数学试题）在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） .（2） 【解析】 【分析】 （1）先由正弦定理，将化为，结合余弦定理，即可求出角； （2）先求出，再由正弦定理求出，根据三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】 （1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 再由余弦定理可得，即, 所以； （2）因为，所以， 由正弦定理，可得. . 【点睛】 本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型. 2．（2020届山东省济宁市第一中学高三下学期二轮质量检测数学试题）在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）