专题11 双曲线及其性质-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅰ专版）

专题11 双曲线及其性质 【母题来源一】【2020年高考全国I卷文数】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为 A． B．3 C． D．2 【答案】B 【解析】由已知，不妨设， 则，因为， 所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， 所以， 解得，所以 故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得， ， 故选D． 【名师点睛】对于双曲线：，有； 对于椭圆，有，防止记混． 【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，所以， 将代入，得，所以， 又点A的坐标是(1，3)， 故的面积为， 故选D． 【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算的面积． 【命题意图】 1.考查双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质. 2.考查运算求解能力，运用数形结合思想分析与解决问题的能力. 【命题规律】 双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点，多以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档. 【答题模板】 解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：定焦点所在的轴，即根据标准方程的形式，确定焦点所在的坐标轴； 第二步：定几何元素的值，根据标准方程或已知条件，确定的值； 第三步：运算求解，根据几何性质运算求解. 【方法总结】 1.待定系数法求双曲线方程的常用方法 （1）与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为(≠0)； （2）若渐近线方程为y＝±x，则可设为 (≠0)； （3）若过两个已知点，则设为()． 2.双曲线几何性质的三个关注点 （1）“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； （2）“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线； （3）“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形． 3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程． 4.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 5.双曲线的离心率是双曲线的性质中非常重要的一个，高考中若出现关于双曲线的题目，基本都要涉及，所以求双曲线离心率的方法一定要掌握. （1）求双曲线的离心率，可以由条件寻找满足的等式或不等式，结合得到，也可以根据条件列含的齐次方程求解，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍. （2）求解双曲线的离心率的取值范围，一般根据已知条件、双曲线上的点到焦点的距离的最值等列不等式求解，同样注意根据双曲线离心率的取值范围是. 1．（2020届四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试数学试题）已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】 双曲线：的焦点到渐近线的距离为， 可得：，可得，，则的渐近线方程为． 故选A． 【点睛】 本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题. 2．（四川省泸县第五中学2021届高三上学期开学考试数学试题）已知为双曲线的右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，线段的垂直平分线过点，，则双曲线的离心率为 A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 【分析】 设双曲线另一个焦点为，线段的垂直平分线过点，，由此可以判断是等边三角形，边长为，这样利用双曲线的定义可以求出的大小，在中，利用余弦定理可以列出等式，最后可以求出双曲线的离心率. 【详解】 设双曲线另一个焦点为，如下图所示： 因为线段的垂直平分线过点，，所以是等边三角形，边长为，为双曲线的右支上一点，所以有，在中，由余弦定理可得： ，即，解得，即 ，双曲线的离心率为4，故本题选D. 【点睛】 本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想. 3．（云南省昆明市官渡区第一中学2020届高三上学期开学考试数学试题）设是双曲线的左、右焦点，为双