专题14 平面向量-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅰ专版）

专题14 平面向量 【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量，若，则 . 【答案】5 【解析】由可得， 又因为， 所以， 即， 故答案：5. 【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 【母题来源二】【2019年高考全国I卷文数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为b，所以=0，所以， 所以=，所以a与b的夹角为， 故选B． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为． 【母题来源三】【2018年高考全国I卷文数】在中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的运算法则，可得 ， 所以.故选A. 【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 【母题来源四】【2017年高考全国I卷文数】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________． 【答案】7 【解析】由题得，因为，所以，解得． 故答案为7. 【名师点睛】如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(b≠0)，则ab的充要条件是x1x2+y1y2=0． 【命题意图】 高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用. 【命题规律】 1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主. 2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换． 【方法总结】 （一）平面向量线性运算问题的求解策略： （1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． （2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． （3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果. （二）用平面向量基本定理解决问题的一般思路： （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式. （三）平面向量数量积的类型及求法： （1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式. （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用： ①求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． ②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. （四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略： （1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． （2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法： ①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围； ②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． （3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用. （五）向量与平面几何综合问题的解法： （1）坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解． 1．