专题15 数列通项求法及求和-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第15讲 数列通项求法及求和 考点1：数列通项求法 求数列的通项公式 1. 观察法 2. 运用等差（等比）数列的通项公式． 3. 已知数列前项和，则（注意：不能忘记讨论） 4. 已知数列前项之积，一般可求，则＝（注意：不能忘记讨论）． 5. 递推公式为，只要是可求的，就可以用累加法求． 6.递推公式是（ ）数列前项积可求，可用累乘法求． 7.已知数列的递推关系，研究与的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列可求通项公式． (1)递推公式是（为常数），可构造新的等比数列求． (2)递推公式是（为常数），此递推公式，可两边除以，得，引做辅助数列（），得再解． (3)递推公式是，可变形为，就是，则可从，解得于是是公比为的等比数列． (4)将递推数列,取倒数变成的形式的方法叫倒数变换． (5)将递推数列取对数. 典例精讲 【典例1】已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4，a11成等比数列，若m﹣n＝8，则am﹣an＝（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】等差数列{an}的各项均为正数，公差设为d，d＞0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，再由通项公式可得所求值． 【解答】解：等差数列{an}的各项均为正数，公差设为d，d＞0， a1＝1，且a3，a4，a11成等比数列， 可得（a4）2＝a3a11， 即为（1+3d）2＝（1+2d）（1+10d）， 解得d， 则an＝1（n﹣1）， 可得am﹣an＝（m﹣n）d＝812． 故选：A． 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用，考查方程思想和运算能力． 【典例2】若[x]表示不超过x的最大整数，如[2.3]＝2，[4]＝4，[﹣2.3]＝﹣3．已知an＝[10n]．b1＝a1，bn＝an﹣10an﹣1（n∈N*，n≥2），则b2019等于（　　） A．2 B．5 C．7 D．8 【分析】an＝[10n]．b1＝a1，bn＝an﹣10an﹣1（n∈N*，n≥2），可得a12＝b1，a228．b2＝28﹣10×2＝8，同理可得：b3＝5，b4＝7，b5＝1，b6＝4，b7＝2，……．bn+6＝bn．即可得出b2019． 【解答】解：an＝[10n]．b1＝a1，bn＝an﹣10an﹣1（n∈N*，n≥2）， ∴a12＝b1，a228． b2＝28﹣10×2＝8， 同理可得：a3＝285，b3＝5；a4＝2857，b4＝7；a5＝28571，b5＝1．a6＝285714，b6＝4；a7＝2857142，b7＝2，……． ∴bn+6＝bn． 则b2019＝b6×336+3＝b3＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了数列的递推关系、周期性，考查了推理能力与计算能力． 【典例3】已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，若集合M＝{n|n（n+1）≥t（an+1），n∈N*}中有3个元素，则实数t的取值范围是　　． 【分析】本题先可根据数列{an}的递推式两边都加1得到通项公式，然后根据表达式n（n+1）≥t（an+1）将t分离出来，另一边关于n的表达式可构造成一个新数列{bn}，然后利用函数思想对新数列{bn}的最值情况以及单调性进行分析，最终会得到实数t的取值范围． 【解答】解：由题意，可知： 对数列{an}的递推式两边都加1，得： an+1+1＝2an+1+1＝2an+2＝2（an+1）． ∵a1+1＝1+1＝2， ∴数列{an+1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an+1＝2•2n﹣1＝2n． 根据题干：n（n+1）≥t（an+1）， 即：n（n+1）≥t•2n． ∴t，n∈N*． 可令bn，则有： b1＝1， b2， b3， b4， b5， ∵bn+1﹣bn ∴当n≥3时，数列{bn}单调递减． 而集合M中只有3个元素， ∴只要找到数列{bn}最大的3个值，即可判断t的取值范围． 可得数列{bn}最大的3个值为：，，． 此时集合M中元素n的取值是2，3，4． ∴1＜t． 故答案为：1＜t． 【点评】本题主要考查根据数列的递推式求通项公式，参变量的分离，数列的构造，函数思想在数列中的应用，以及不等式的计算． 【典例4】已知数列{an}满足，则数列的最大值为　　 【分析】由已知数列递推式可得数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，求其通项公式，代入，由求得n值，则答案可求． 【解答】解：由an＝2an﹣1+1，得an+1＝2（an﹣1+1）， ∵a1+1＝2≠0， ∴数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则， ∴． 由，解得． ∵n∈N*，∴n＝6，即数列的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查数列递推式，训练了构造等比数列求数列的通项公式，考查数列的