专题14 等差、等比数列-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第14讲 等差、等比数列 考点1：等差数列 一、等差数列的基本概念和公式 1. 定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2. 等差中项：如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项，即． 3.通项公式：, 4. 前项和公式：，； 二、等差数列的性质： 1. ，,; 2. 若，则有；若，则有（，，，）； 3. 为等差数列，为前项和，则；为等差数列，为前项和，；有． 4. 若均为等差数列，且公差分别为，则数列也为等差数列，且公差分别为． 5. 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，．．．．，为等差数列，公差为． 6. 等差数列的前项和也构成一个等差数列，即，为等差数列，公差为，； 三、等差数列的单调性以及前项和的最值探讨 1. 在等差数列中，若公差，则等差数列为递增数列；若公差，则等差数列为递减数列；若公差，则等差数列为常数列； 补充：更一般性的情况，研究任一数列的增减性可以利用逐项作差法，即构造，然后研究自变量变化时函数值的符号． 2. 有关等差数列的前项和为的最值问题： 若，则前项和为存在最大值 若，则前项和为存在最小值 3. 如何求最值： 方法一：（任何数列都通用）通过解出可求前项和为的最大值；通过解出可求前项和为的最小值； 方法二：利用等差数列前项和的表达式为关于的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前项和不存在最值），利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能： 若对称轴正好取得正整数，则此时就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则就取靠近对称轴的那个正整数； 四、等差数列的判断方法 1. 定义法：（常数）为等差数列； 2. 等差中项法：为等差数列； 3. 通项公式法：（是常数）数列是等差数列； 4. 前项和法：数列的前项和是常数， 数列是等差数列； 若数列的前项和是常数，，则数列从第二项起是等差数列． 典例精讲 【典例1】已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2+a5＝a6+a3，则S7＝（　　） A．2 B．7 C．14 D．28 【分析】利用等差数列的性质可得：a4＝a6+a3﹣a5．再利用求和公式及其性质即可得出． 【解答】解：∵2+a5＝a6+a3， ∴a4＝a6+a3﹣a5＝2． 则S77a4＝14． 故选：C． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【典例2】已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a10＝（　　） A．26 B．30 C．34 D．38 【分析】由题意首先求得a2的值，然后结合等差数列的性质即可确定a10的值． 【解答】解：由题意可得：∵a2，a3，a6成等比数列， ∴a2•a6，∴a2•（a2+4×4），解得a2＝2． 则a10＝2+8×4＝34． 故选：C． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题． 【典例3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，a10•S21＜0，则Sn最大时，n的值为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】S2121a11．根据首项a1＞0，公差d＜0，a10•S21＜0，可得a10＞0，a11＜0．根据其单调性即可得出． 【解答】解：S2121a11． ∵首项a1＞0，公差d＜0，a10•S21＜0， ∴a10＞0，a11＜0． 则Sn最大时，n的值为10． 故选：B． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【典例4】．已知等差数列满足，则的最大值为　　 A． B．20 C．25 D．100 【分析】设数列的公差为，由化为关于的一元二次不等式，利用判别式△求出的取值范围，即可得出的最大值． 【解答】解：设等差数列的公差为，由， 得， 即； 由△， 化简得， 解得， 所以， 即的最大值为25． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列的通项与求和公式应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题． 【典例5】．已知等差数列满足，，．其前项和为，则使成立时最大值为　　 A．2020 B．2019 C．4040 D．4038 【分析】差数列的首项，，，可得，．再利用求和公式及其性质即可得出．． 【解答】解：等差数列的首项，，， ，． 于是， ． 使成立的最大正整数是4038． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查