专题13 平面向量-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第13讲 平面向量 考点1：向量的基本概念和线性运算 一、基本概念 1. 向量的概念： 在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量． 2. 向量的表示： ①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度． ②字母表示法：，注意起点在前，终点在后． 3.相等向量： 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． 4. 向量共线或平行： 通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，记作∥． 5. 零向量： 长度等于零的向量，叫做零向量．记作：． 零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行． 二、平面向量的线性运算 1. 向量的加法： (1)向量加法的三角形法则： 已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和的和（或和向量），记作，即． (2)向量求和的平行四边形法则： ①已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以， 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则． ②向量的运算性质： 向量加法的交换律： 向量加法的结合律： 关于： 2. 向量的减法： (1)相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作． (2)零向量的相反向量仍是零向量． (3)差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量． (4)一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 3. 数乘向量：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长 4. 向量共线的条件： 如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一个实数，使． 典例精讲 【典例1】已知，且，，，则的取值范围是（　　） A． B．[0，2] C． D．[0，1] 【分析】由题意，由于两向量垂直，所以可以将两向量放到坐标系内，如图可令，从而转化为坐标情况下向量问题的研究，问题易解 【解答】解：由题意，，且， 所以可将两向量放到坐标系内，如图可令， ∴（1，1）， 令，因为，所以向量的终点在以（1，1）为圆心，以为半径的圆上， 又圆到原点的距离是，所以的取值范围是， 故选：A． 【点评】本题考查向量的模的求法，以及向量的模的几何意义，向量的坐标表示，根据题意，灵活选用基向量法与坐标法可以大大降低解题的难度 【典例2】已知向量，满足||＝1，且对任意实数x，y，|x|的最小值为，|y|的最小值为，则||＝（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】取（1，0），（c，d），|x|，展开利用二次函数的单调性可得：1，|y|，可得d2＝3．同理可得：c2＝1． 则||，即可得出． 【解答】解：取（1，0），（c，d）， |x|， ∴1， |y|，可得d2＝3． 解得c2＝1． 则||或． 故选：C． 【点评】本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【典例3】以下说法错误的是（　　） A．零向量与单位向量的模不相等 B．零向量与任一向量平行 C．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上 D．平行向量就是共线向量 【分析】根据零向量和单位向量的定义即可判断选项A的说法正确，根据平行向量的定义即可判断选项B的说法正确，根据向量平行的定义即可判断选项C的说法错误，根据平行向量和共线向量的定义即可判断选项D的说法正确． 【解答】解：A．零向量的模为0，单位向量的模为1； ∴零向量与单位向量的模不相等； ∴该说法正确； B．“零向量与任一向量平行“是正确的； C．向量与向量是共线向量，说明； A，B，C，D可以不在一条直线上； ∴该说法错误； D．平行向量和共线向量是一个概念； ∴该说法正确． 故选：C． 【点评】考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义． 【典例4】过△ABC内一点M任作一条直线l，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是△ABC的（　　） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 【分析】△ABC内一点M作一条直线l，可将此直线特殊为过点A、B、C三个点，则一条向量为零向量可得答案． 【解答】解：本题采用特殊位置法较为简单．因为过△ABC内一点M任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则|AD|＝0，有．如图：则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点M是△ABC的重心． 故选：B． 【点评】本题考查向量的加法运算，将向量转化为两个向量的和，然后抵消掉相反向量是解题的关键，属中档题． 【典例5】在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F在CD上，且DF＝2FC，连接AE，BF交于G点，则（　　） A． B． C． D．