专题12 三角恒等变换及解三角形-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第12讲：三角恒等变换 及解三角形 考点1：三角恒等变形 一、三角恒等变换 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1); (2); (3) (); 变形式． 2. 二倍角公式 (1); 变形式． (2); 变形式；． (3)． 3. 辅助角公式 ， 其中所在的象限由、的符号确定，角的值由确定． 4. 化简中常用1的技巧 “1”的代换；，，． 典例精讲 【典例1】已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2＝6，则z＝x2+4y2的取值范围为（　　） A．[4，12] B．[4，+∞） C．[0，6] D．[4，6] 【分析】x2+2xy+4y2＝6变形为（x+y）2+（y）2＝6，设x+ycosθ，y＝sinθ，θ∈[0，2π）．代入z＝x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出． 【解答】解：x2+2xy+4y2＝6变形为（x+y）2+（y）2＝6， 设x+ycosθ，ysinθ，θ∈[0，2π）． ∴ysinθ，xcosθsinθ， ∴z＝x2+4y2＝（cosθsinθ）+4（sinθ）＝4sin2θ﹣4sinθcosθ+6， ＝2×（1﹣cos2θ）﹣2sin2θ+6 ＝8﹣4sin（2θ）， ∵sin（2θ）∈[﹣1，1]． ∴z∈[4，12]． 故选：A． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【典例2】已知函数f（x）＝sin（2x），若方程f（x）在（0，π）的解为x1，x2（x1＜x2），则sin（x1﹣x2）＝（　　） A． B． C． D． 【分析】由已知可得，结合x1＜x2求得x1的范围，再由sin（x1﹣x2）＝sin（）＝﹣cos（）求解． 【解答】解：∵0＜x＜π，∴∈（，）， 又∵x1，x2是sin（2x）的两根，可知， ∴， ∴sin（x1﹣x2）＝sin（）＝﹣cos（）， ∵x1＜x2，， ∴0＜x1，则∈（，），故cos（）， ∴sin（x1﹣x2）． 故选：A． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题． 【典例3】已知s，则（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】由二倍角化简，sin2α＝2sinαcosα，可得，弦化切，即可求解． 【解答】解：由sin2α＝2sinαcosα， 可得， ∴， 即tan2α﹣3tanα+1＝0． 可得． 故选：C． 【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查． 【典例4】已知，，则　　 A． B． C． D． 【分析】把已知等式两边平方，求得，进一步得到的值，联立求得，，得到，代入得答案． 【解答】解：由，， 得，， 则，， ． 联立，解得，， ． ． 故选：． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 【典例5】已知α，2tanβ＝tan2α，tan（β﹣α）＝﹣8，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【分析】2tanβ＝tan2α，∴2tan（β﹣α+α），变形可得tanα＝﹣2，可得sinα． 【解答】解：∵2tanβ＝tan2α，∴2tan（β﹣α+α）， ∴， ∴， 化简得tanα＝﹣2，∴α∈（，0）， ∴sinα． 故选：B． 【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题． 【典例6】若，且，则cos2α的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可求cosα+sinα①，两边平方，解得sin2α，可求cosα﹣sinα，②由①+②可得cosα，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解cos2α的值． 【解答】解：∵，且， ∴3（cos2α﹣sin2α）（cosα﹣sinα）， ∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）， ∴cosα+sinα①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去）， ∴两边平方，可得：1+sin2α，解得：sin2α， ∴cosα﹣sinα，② ∴由①+②可得：cosα，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 【典例7】已知，，则　　． 【分析】根据条件得到，，进而求得，，再利用两角和差公式运算即可 【解答】解：，则有， 两边平方可得：，则，即有 又因为，所以，， 则， （法一）将与联立后解得，， 则， 所以． （法二）因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查两角和差的三角函数的求值，涉及方程思想，