专题11 三角函数的图像性质及变换-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第11讲 三角函数的 图像性质及变换 考点1：三角函数的图像性质 一、三角函数的图像和性质 1.正弦函数图像和性质 (1)图像： (2)定义域： (3)值域： (4)单调性：（）增函数 （）减函数 (5)奇偶性：奇函数 (6)最小正周期： (7)对称性：对称轴；对称中心． 2.余弦函数图像和性质 (1)图像 (2)定义域： (3)值域： (4)单调性：（）增函数 （）减函数 (5)奇偶性：偶函数 (6)最小正周期： (7)对称性：对称轴；对称中心． 3.正切函数图像和性质 (1)定义域： (2)值域： (3)单调性：在（）增函数． (4)奇偶性：奇函数 (5)最小正周期： (6)对称性：对称中心． 典例精讲 【典例1】若函数f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（　　） A．[0，]与[，] B．[，] C．[0，]与[，π] D．[0，]与[，] 【分析】根据题意得出f（）＝1，求出φ的值写出f（x）的解析式； 再求f（x）的单调增区间，即可得出f（x）在x∈[0，π]上的单调增区间． 【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（）， ∴f（）＝sin（2φ）＝1， 解得φ2kπ，k∈Z； ∴f（x）＝sin（2x）； 令2kπ≤2x2kπ，k∈Z， 解得kπ≤xkπ，k∈Z， 当x∈[0，π]时，有[0，]，[，π]满足条件． 故选：C． 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题． 【典例2】已知定义在上的函数（ω＞0）的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先由x∈，求出的取值范围，然后分类讨论：①当即0＜ω＜4时，构造新函数，，然后结合正弦函数和一次函数的图象，找两个图象的交点个数即可；②当即ω≥4时，只能是ω＝5． 【解答】解：∵x∈，∴， ①当即0＜ω＜4时， 令，，如图，易知函数g（ω）和h（ω）有两个交点A，B， 而当0＜ω＜4时，只有唯一的交点A，也就是只有唯一解． ②当即ω≥4时，，∴ω＝5，只有一个值． 综上所述，正实数ω的取值个数最多为2个． 故选：C． 【点评】本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题，还涉及构造新函数和分类讨论的思想，考查学生转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 【典例3】关于函数f（x）＝x﹣sinx，下列说法错误的是（　　） A．f（x）是奇函数 B．f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增 C．x＝0是f（x）的唯一零点 D．f（x）是周期函数 【分析】由题意利用根据正弦函数的性质，得出结论． 【解答】解：关于函数f（x）＝x﹣sinx，显然它是奇函数，故A正确； 由于f′（x）＝1﹣cosx≥0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故B正确； 根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，f（0）＝0，可得x＝0是f（x）的唯一零点，故C正确； 根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故它一定不是周期函数，故D错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 【典例4】如图，已知函数f（x）cos（ωx+φ）（ω＞0，φ＜0）的部分图象与x轴的一个交点为A（，0），与y轴交点为B（0，），那么f（）＝（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质求得f（x）的解析式，可得f（）的值． 【解答】解：由题意可得ω×（）+φ＝kπ，cosφ，结合ω＞0，φ＜0， 可得φ，∴kπ，即ω＝﹣6k﹣4，∴ω＝2，f（x）cos（2x）， ∴f（）cos， 故选：D． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题． 【典例5】已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π）．若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6），则（　　） A．f（2021）﹣f（2018）＜0 B．f（2021）﹣f（2018）＝0 C．f（2021）+f（2018）＞0 D．f（2021）+f（2018）＝0 【分析】根据余弦函数的图象和性质，判断函数的最值进行求解即可． 【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π）， 若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6）， 则f（1）为最小值，f（6）为最大值， ∴ω+φ＝2k1π+π，6ω+φ＝2k2π+2π，k∈Z． ∴5ω＝2（k2﹣k1）π+π， 即ω（k2﹣k1）π， ∵0＜ω＜1， ∴当k2﹣k1＝0时，ω， 此时φ，f（x）＝cos（x），它的周期为10． 且f（1）＝﹣1，f（6）＝1， 则f（2021）＝f（2020+1）＝f（1）＝﹣1， f（2