专题10 三角函数定义-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第10讲 三角函数定义 考点1：角的概念 一、角的概念 1.定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．其中顶点、始边、终边称为角的三要素． 2.范围： 3.正角、负角、零角 ①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； ③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角． 4.终边相同的角： 设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为． 5.象限角与轴线角 象限角：定点在原点，始边在轴正半轴，终边在第几象限就是第几象限角 如：终边落在第一象限的角：或 终边落在轴上的角：或． 轴线角：如果角的终边在坐标轴上则说这个角不在任何象限，而称之为“轴线角”． 二、弧度制 1.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2.弧度与角度的换算：， 3.弧长与扇形面积公式：①弧长公式： ②扇形面积公式： 典例精讲 【典例1】已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是　　． 【典例2】将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是　 　． 【典例3】终边在直线yx上的角的集合为　 　． 【典例4】已知角α＝45°； （1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β； （2）集合，，那么两集合的关系是什么？ 【典例5】有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为　，扇形面积为　　． 【典例6】有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为　　，扇形面积为　　． 【典例7】315°＝　　弧度，弧度＝　°． 考点2：三角函数基本知识 一、三角函数定义 1.定义：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么 (1)比值叫做的正弦，记作，即； (2)比值叫做的余弦，记作，即； (3)比值叫做的正切，记作，即； 2.符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： (1)正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）； (2)余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）； (3)正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）． 3.特殊角的三角函数： 角 不存在 不存在 4.三角函数同角公式：；． 二、诱导公式 1.各角与角终边的关系 角 （） 图示 与角终边关系 相同 关于原点对称 关于轴对称 角 图示 与角终边关系 关于轴对称 关于对称 2.诱导公式 (1)角与的三角函数间的关系； ，，; (2)角与的三角函数间的关系； ，，; (3)角与的三角函数间的关系； ，，; (4)角与的三角函数间的关系． ,，． 注：“奇变偶不变，符号看象限”：奇偶是指的奇数倍和偶数倍，符号看象限是令为第一象限的角，考查变化后角所在的象限以及对应三角函数的符号． 典例精讲 【典例1】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（　　） A． B． C． D． 【典例2】已知θ是第四象限角，且cos（θ），则tan（θ）＝（　　） A． B． C． D． 【典例3】已知x∈R，则下列等式恒成立的是（　　） A．sin（﹣x）＝﹣sinx B． C． D．cos（π﹣x）＝cosx 【典例4】如图，单位圆Q的圆心初始位置在点（0，1），圆上一点P的初始位置在原点，圆沿x轴正方向滚动．当点P第一次滚动到最高点时，点P的坐标为　 　；当圆心Q位于点（3，1）时，点P的坐标为　 　． 【典例5】已知，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【典例6】已知，则sin（﹣2π﹣α）＝　 　． 【典例7】若，那么的值为（　　） A． B． C． D． 综合练习 一. 选择题（共2小题） 1.已知θ是第四象限角，且cos（θ），则tan（θ）＝（　　） A． B． C． D． 2.定义新运算a⊗b＝2a（a+b）﹣3，若方程（sinx）⊗（cosx）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（　　） A． B． C．2 D．1 二. 填空题（共4小题） 3.将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是