专题09 导数的零点-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第9讲 导数的零点 考点1：零点问题 零点问题 1. 零点的概念： 对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点． 2. 函数有零点有根函数与轴有交点． 3. 有几个根函数与图象有几个交点函数图象与轴有几个交点． 4. 方程有几个根函数与函数图象有几个交点 函数的图象与轴有几个交点． 5. 三次函数的零点个数 (1)当时，且不恒为0，在上单调增 此时，有且仅有1个零点． (2)当时，有极大值和极小值； ①当或时，有且仅有1个零点； ②当或时，有2个零点； ③当时，有个零点． 零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点． 6.导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”（即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达），基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离函数（参数），技巧上反客为主. 典例精讲 【典例1】已知函数． （1）求函数的极值； （2）若函数有3个零点，求的取值范围． 【分析】（1）求导得，令得或，列表格分析随着变化，变化情况，进而得出极值． （2）由（1）可知要使得函数有3个零点，只需，进而解出的取值范围． 【解答】解：（1）， 令，解得或， 则随着变化，变化情况如下表： ， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，当时，取得极大值，当时，取得极小值． （2）要使得函数有3个零点， 只需，解得． 【点评】本题考查导数的综合应用：求极值，以及函数的零点 【典例2】已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线与直线只有一个公共点，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）的导数为， 可得曲线在点处的切线斜率为1， 可得切线的方程为； （2）曲线与直线只有一个交点， 等价于关于的方程只有一个实根． 显然，方程只有一个实根． 设函数，则， 设，，为增函数，又（1）． 当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 可得在时取极小值1． 又当趋向于0时，趋向于正无穷；当趋向于负无穷时，趋向于负无穷； 又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷． 图象大致如图所示： 只有一个实根时，实数的取值范围为． 【典例3】已知存在唯一零点，则实数的取值范围 A． B． C． D． 【分析】先由题设条件得到，再研究的奇偶性，把问题转化为当时，函数无零点．利用放缩法与单调性求出的取值范围． 【解答】解：由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0． ，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可． 当时，有，． 令，，则， ，， ，在上单调递增， ，． 故选：． 【点评】本题主要考查函数的性质及导数的综合应用，属于基础题． 【典例4】已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）由的导数为， 可得曲线在处的切线斜率为， 切点为，可得切线方程为； （2）在内有两个不相等的实数根， 即为在有两个不等实根， 可令，则， 由可得，递减；当时，，递增， 可得的最大值为（e）， 由的图象可得， 即有． 【典例5】已知函数在无零点，则实数的取值范围为 A． B．， C．， D．，， 【分析】函数在无零点，可转化为无正实数根，研究函数的值域，只要在值域之外取值即可． 【解答】解：函数在无零点，显然不是函数的零点．故问题可转化为无正实数根， 令，，， 令得，当，，时，，故在上递减；当时，，递增． 又时，；时，；时，．；，． 作出函数与的图象： 可知，当介于轴（包括轴）与点之间时，原函数在上无零点． 故即为所求． 故选：． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而通过函数的图象，研究函数的零点问题． 【典例6】已知； （1）当时，求的单调区间； （2）求证：当时，方程在上无解． 【解答】解：（1）的定义域为， 当时，，． 令，在上单调递增． 存在唯一，使得． 使得函数在上单调递减，在，上单调递增． ． 函数在上单调递增． （2）由，． ． 令．． 则． 令，． 则， 当时，，在上单调递减． （1），（2），存在，使得． ， 0 极大值 ，． ． 令，则在上为增函数． ．即． 当时，方程在上无解． 【典例7】已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 【解答】解：． （1）当，，函数在上单调递增； 当时，令得，当，时， 当，时，，故在，上单调递减， 在，上单调递增， 综上，