专题08 导数的恒成立与能成立-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第8讲 导数的恒成立与能成立 考点1：导数的恒成立与能成立 一、导数的恒成立问题 ，恒成立 2. ，恒成立 3. ，恒成立 4. ，恒成立 5. ，恒成立 6. ，恒成立 二、导数的能成立问题 1. ，成立 2. ，成立 3. ，成立 4. ，成立 5. ，成立 6.，成立 三、恒成立与能成立综合问题 1.，恒成立 2. ，，成立 3. ，，成立 4. ，，成立 典例精讲 【典例1】不等式，在，上恒成立，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：由于的对称轴为， 当时，在，递减， 在递增，则（a）， 当时，在，递增，则． ． 综上，则的取值范围是，． 故选：． 【典例2】函数对恒成立，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，时，不等式可化为， 设函数，其中，； 则， 令，解得或， ，时，，单调递增； 时，，单调递减； 时取得最大值为（1）； 由此知的取值范围是，． 故选：． 【典例3】已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是 A．（1） B．（2） C．（1） D． 【分析】根据题意可得对任意的都成立，推出在上单调递增，可得（1）（2），进而得出答案． 【解答】解：的定义域， 因为对任意的都成立， 所以对任意的都成立， 所以在上单调递增， 所以（1）（2）， 所以（2）， 即（2）． 故选：． 【点评】本题考查求导法则，函数单调性，解题中注意构造函数 【典例4】若，不等式恒成立，则正实数的取值范围是　　 A．， B．， C． D． 【解答】解：当时，显然不等式恒成立， 当，由不等式恒成立，有 ，在恒成立， 令，， 则， 令，， 则， 在上单调递增，，即， 在在上单调递增，当时，， 当时，恒成立， ，在恒成立， ， 因此正实数的取值范围为，． 故选：． 【典例5】已知函数，． （1）若是的极值点，求函数的单调性； （2）若时，，求的取值范围． 【解答】解：（1），． 因为是的极值点， 所以（1），可得． 所以，． 因为在上单调递增，且时，， 所以时，，，单调递减；时，，，单调递增． 故在上单调递减，在上单调递增． （2）由得， 因为，所以． 设， 则． 令， 则， 显然在内单调递减，且（1）， 所以时，，单调递减， 则（1），即， 所以在内单减，从而． 所以． 【典例6】已知函数． （1）若有极值，求的取值范围； （2）当在处取得极值时，对于，内的任意两个值，，都有． 【解答】解：（1）根据题意，，则 又有极值△或． 所以的取值范围为． （2）证明：根据题意，由于在处取得极值，则（1），解可得， 则 令，则或； 令，则． 所以的最大值为（1）和（3）中的一个，（1），（3），则， 的最小值为和中的一个，， 则， ； 则对于，内的任意两个值，，都有． 【典例7】若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是 A．， B．， C．， D．， 【分析】不等式“恒成立”等价于不等式“恒成立”，即，再利用导数求函数，的最小值即可，将 变形转化得到，，再代入到的代表式里面即可求出，从而得到答案． 【解答】解：若不等式对任意的都成立， 则对任意的都成立，即， 令，，， 令，，在上单调递增， 又（1），， 所以存在，使得，即， 所以当 时，，当 时，， 所以函数 在 上单调递减，在， 上单调递增， 由 可得， 令，则， 易知函数在上单调递增，所以，， 于是，所以， 故实数的取值范围为，， 故选：． 【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，考查了设而不求法、分离参数法、隐零点代换，突破口在于对 的变形以及转换 【典例8】已知：函数（其中常数． （Ⅰ）求函数的定义域及单调区间； （Ⅱ）若存在实数，，使得不等式成立，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为．（1分） ．（3分） 由，解得． 由，解得且． 的单调递增区间为， 单调递减区间为，；（6分） （Ⅱ）由题意可知，，且在，上的最小值小于等于时， 存在实数，，使得不等式成立．（7分） 若即时， 在，上的最小值为． 则，得．（10分） 若即时，在，上单调递减， 则在，上的最小值为． 由得（舍．（12分） 综上所述，．则的取值范围是， 【典例9】已知函数． （1）若，求函数的极小值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若在区间，上存在一点，使得成立，求的取值范围， 【解答】解：（1）的定义域为，（1分） 当时，，，（2分） 1 0 极小 （3分） 所以在处取得极小值1．（4分） （2）， （6分） ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增；（7分） ②当，即时，在上， 所以，函数在上单调递增．（8分） （3）在，上存在一点，使得