专题06 导数的应用-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第6讲 导数的应用 考点1： 研究函数的单调性 1.函数在区间内可导 (1)如果在内，，则在此区间是增函数，为的单调增区间． (2)如果在内，，则在此区间是减函数，为的单调减区间． (3)如果在内，恒成立，则在此区间是常函数，不具有单调性． 2. 利用导数研究函数单调性的基本步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）； (3)由（或）解出相应的的取值范围．当时，在相应的区间内是单调增函数；当时，在相应的区间内是单调减函数． 说明：一般需要通过列表，写出函数的单调区间． 典例精讲 【典例1】设函数f（x）＝x2（x﹣a）（a＞0），其导函数为y＝f′（x），若两两不相同实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f′（x2）＝f′（x3）＝f（x4），则下列说法正确的是（　　） A．x1+x4＜2（x2+x3） B．x1+x4＞2（x2+x3） C．x1+x3＜x2+x4 D．x1+x3≥x2+x4 【典例2】已知函数f（x）若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点x1，x2，则x1+x2＝（　　） A．2 B．2或2 C．2或3 D．2或3或2 【典例3】若存在x∈[﹣1，2]，使得xkex＜0成立，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣e，+∞） C．（﹣e，+∞） D．（﹣1，+∞） 【典例4】已知函数f（x）＝（2x﹣1）ex+ax2﹣3a（x＞0）在（0，+∞）上为增函数，则a的取值范围是　 　． 【典例5】已知函数，其中e是自然对数的底数．若f（a）+f（a2﹣2）＜0，则实数a的取值范围是　 　． 考点2：研究函数的极值、最值 1. 已知函数，设是定义域内任一点，如果对附近的所有点，都有， 则称函数在点处取极大值，记作．并把称为函数的一个极大值点． 2. 如果在附近都有，则称函数在点处取极小值，记作．并 把称为函数的一个极小值点． 3. 极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点． 4. 求函数的极值的方法： (1)求函数的定义域 (2)求导数； (3)求方程的所有实数根； (4)考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化． 如果的符号由正变负，则是极大值； 如果由负变正，则是极小值． 如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值． 5. 一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤： (1)求出函数在内所有极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 6. 最值与极值的区别与联系 (1)极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言； (2)最值和极值都不一定存在； (3)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． 典例精讲 【典例1】设x是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【典例2】已知函数f（x）＝x3+mx2+（m+6）x+1存在极值，则实数m的取值范围为　 　． 【典例3】已知函数，当x∈[0，1]时，函数f（x）仅在x＝1处取得最大值，则a的取值范围是　 　． 【典例4】已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【典例5】已知函数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及极值； （Ⅱ）若g（x）＝xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值． 综合练习 一．选择题（共3小题） 1．设是定义在上的偶函数，为其导函数，（2），当时，有恒成立，则不等式的解集为 A． B．，， C．，， D．，， 2．已知函数的极值点为1和2． （1）求实数，的值； （2）若不等式在区间，上恒成立，求实数的取值范围． 3．若函数f（x）恰有三个极值点，则m的取值范围是（　　） A．（） B．（，0） C．（﹣1，） D．（﹣1，） 二．填空题（共2小题） 4．函数f（x）＝lnx﹣ax在[1，+∞）上递减，则a的取值范围是　 　． 5．若关于x的不等式﹣x2+x＞mx的解集为{x|﹣1＜x＜0}，且函数f（x）＝x（x﹣m）2在x＝n处有极小值，则n＝　 　． 三．解答题（共2小题） 6．已知函数f（x）ax2﹣x+xlnx，a∈R． （1）若a，讨论函数f（x）在其定义域上的单调性； （2）若f（x）在其定义域上恰有两个零点，求a的取值范围． 7．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在，上的最大值为1，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 $$ 第6讲 导数的应用 考点1： 研究函数