专题05 导数的计算及其几何意义-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第5讲 导数的计算及其 几何意义 考点1：导数基本知识 导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率： 已知函数，，是其定义域内不同的两点，记， ，则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率． 2. 函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变． 如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率． “当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当时，”或“”． 3. 可导与导函数： 如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）． 4. 导数的几何意义： 设函数的图象如图所示： 为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率． 由导数的几何意义可知，曲线在点的切线的斜率等于． 5. 在点处的切线方程与过点的切线方程 (1)函数在点处的切线方程为； (2)函数过点的切线方程 此时可能是切点，也可能不是切点； 因此设切点为，求出在处切线方程 代入，得，解出，再代入即可． 典例精讲 【典例1】已知函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则f（x）的导函数f′（x）的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数f（x）为偶函数求得a的值，再求出f（x）的导函数f′（x）， 利用导数判断f′（x）的单调性与极值，从而得出函数f′（x）的大致图象． 【解答】解：函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数， 则a﹣1＝0，解得a＝1， ∴f（x）＝﹣x4+2x2， ∴f′（x）＝﹣4x3+4x； 设g（x）＝f′（x）， 则g′（x）＝﹣12x2+4， 令g′（x）＝0，解得x＝±， ∴当0＜x时，g′（x）＞0， 当x时，g′（x）＜0； ∴g（x）在x时取得极大值为 g（）＝﹣442， ∴导函数f′（x）的图象大致为选项A所示． 故选：A． 【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题． 【典例2】若过点P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线C：y＝xex相切，则m的取值范围是（　　） A．（，+∞） B．（） C．（0，+∞） D．（） 【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程． 【解答】解：设切点为（x0，y0），过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为m，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到f′（x）＝（﹣x﹣1）（x+2）ex，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞） 上单调递减，故得到f（﹣2）＜m＜f（﹣1），即 故选：D． 【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键． 【典例3】过点P（0，﹣1）作曲线C：y＝lnx的切线，切点为A1，设A1在y轴上的投影是点B1，过点B1再作曲线C的切线，切点为A2，设A2在y轴上的投影是点B2，…，依次下去，得到第n（n∈N*）个切点An，则点An的坐标为　（en﹣1，n﹣1）　． 【分析】设A1（x1，lnx1），可得切线方程代入点P坐标，可解得x1＝1，即A1（1，0），B1（0，0），在写切线方程代入点B1（0，0），可得A2（e，1），B2（0，1），… 由此可得推得规律，从而可得结论． 【解答】解：设A1（x1，lnx1），此处的导数值为， 故切线方程为y﹣lnx1（x﹣x1），代入点P（0，﹣1） 可得﹣1﹣lnx1（0﹣x1），解得x1＝1，即A1（1，0），B1（0，0）， 同理可得过点B1再作曲线C的切线方程为y﹣lnx2（x﹣x2），代入点B1（0，0）， 可得0﹣lnx2（0﹣x2），可解得x2＝e，故A2（e，1），B2（0，1）， … 依次下去，可得An的坐标为（en﹣1，n﹣1） 故答案为：（en﹣1，n﹣1） 【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，归纳推理是解决问题的关键，属中档题． 【典例4】已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b＝0，实数c，d满足2d﹣c0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为　1　． 【分析】问题转化为曲线ln（x+1）+y﹣3x＝0与直线2x﹣y上的两点之间距离的最小