专题04 基本初等函数-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第4讲 基本初等函数 考点1：指数函数 一、指数运算 1. 次方根的定义 一般地，如果()，就叫的次方根 (1)当为奇数时，正数的次方根是正数，负数的次方根是负数． (2)当为偶数时，正数的次方根有两个且互为相反数，负数没有次方根． 2. 指数运算 (1)（）；（,）． (2)，，． (3)当是奇数时，； (4)当时偶数时，． (5)；　　． 二、指数函数 1. 定义 一般地，函数且，叫做指数函数． 2. 指数函数的图象和性质对 指数的取值 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 3. 根据图像比较指数函数底数的大小 曲线分别是指函数的图像： (1)由图像得． (2)当底数大于1时，底数越大图像越靠近轴，当底数小于1时，底数越小于靠近轴． (3)指数函数与（且）的图像关于轴对称． (4)函数值的大小比较 ①底数相同指数不同 当底数大于1时，指数越大函数值越大．当底数小于1时指数越大函数值越小． ②指数相同底数不同 可采用函数图像法，底数大于1时，指数相同底数越大函数值越大，底数小于1时，指数相同底数越小函数值越大． ③底数不同指数不同 找中间值（一般为1），用原来的两个值与中间值比较． 典例精讲 【典例1】已知x，y∈R，且5x+7﹣y≤5y+7﹣x，则（　　） A．sinx≤siny B．x2≤y2 C．5x≤5y D． 【分析】由已知结合函数y＝5x﹣7﹣x的单调性可得x≤y，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：∵函数y＝5x﹣7﹣x为增函数， ∴由5x+7﹣y≤5y+7﹣x，即5x﹣7﹣x≤5y﹣7﹣y，可得x≤y， 对于A，取x，y，满足x≤y，但sinx≤siny不成立； 对于B，取x＝﹣2，y＝1，满足x≤y，但x2≤y2不成立； 对于C，由指数函数的单调性可知成立； 对于D，由对数函数的单调性可知不成立． 故选：C． 【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，考查基本初等函数的单调性，是中档题． 【典例2】函数1的值域为（　　） A．[1，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，1） 【分析】将4﹣2x看成一个整体，用换元法求值域． 【解答】解：因为4﹣2x≥0， 所以x≤2，即函数的定义域是（﹣∞，2]， 令t＝4﹣2x，则t∈[0，4）， 所以， 所以y∈[﹣1，1），即函数的值域是[﹣1，1）， 故选：D． 【点评】解决该题关键是观察函数的结构，转化成基本初等函数，利用基本初等函数的单调性解题． 【典例3】函数f（x）＝2x﹣sinx在区间[﹣10π，10π]上的零点的个数是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【分析】画出函数y＝2x和y＝sinx的图象，通过图象读出即可． 【解答】解：画出图象函数y＝2x和y＝sinx的图象，根据图象可得函数f（x）＝2x﹣sinx在区间[﹣10π，10π]上的零点的个数是10， 故选：A． 【点评】题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题． 【典例4】若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1），则f（x）的单调递减区间是（　　） A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2] 【分析】由f（1），解出a，求出g（x）＝|2x﹣4|的单调增区间，利用复合函数的单调性，求出f（x）的单调递减区间． 【解答】解：由f（1），得a2，于是a，因此f（x）＝（）|2x﹣4|． 因为g（x）＝|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增， 所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）． 故选：B． 【点评】本题考查指数函数的单调性，复合函数的单调性，考查计算能力． 【典例5】若2x＝8y+1，且9y＝3x﹣9，则x+y的值是　27　． 【分析】由2x＝8y+1，且9y＝3x﹣9得到关于x、y的俩个方程，解出x、y即可 【解答】解：∵2x＝8y+1∴有2x＝23y+3∴x＝3y+3 又9y＝3x﹣9∴有32y＝3x﹣9∴2y＝x﹣9 联立得到∴x+y＝27 故答案为27 【点评】本题考查指数方程的求解，难度不大． 【典例6】定义运算：则函数f（x）＝3﹣x⊗3x的值域为　（0，1]　． 【分析】作出f（x）＝3﹣x⊗3x的图象，结合图象能求出函数f（x）＝3﹣x⊗3x的值域． 【解答】解：如图为y＝f（x）＝3﹣x⊗3x的图象（实线部分）， 由图可知f（x）的值域为（0，1]． 故答案为：（0，1]． 【点评】本题考查指数函数的性质和应用，解题时作出图象，数形结合，事半功倍． 【典例7】（2014秋•富民县校级期中）函数y的单调递增区间为　（﹣∞，]　． 【分析】利用复合函数的单调性判断函数的单调区间． 【解答