专题02 函数基本性质-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第2讲 函数基本性质 考点1： 一、函数的概念 1. 映射 设是两个非空集合，如果按照某种对应法则，对中的任意一个元素在中有一个且仅有一个元素与对应，则称是集合到集合的映射，这时称是在映射的作用下的象，记作，于是 称为的原象，映射也可记为： 其中叫做映射的定义域（函数定义域的推广）．由所有象构成的集合叫做映射的值域．通常记作． 将上述定义中集合限制为非空数集，便可以得到函数的概念，如下： 2. 函数 设集合是一个非空数集，对中的任意的数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数．记作， 其中叫做自变量．自变量取值的范围（数集）叫做这个函数的定义域． 如果自变量取值，则由法则确定的值称为函数在处的函数值，记作 所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域． 3. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则 4. 函数的表示法 (1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 二、函数的定义域 1. 基本函数的定义域 (1)分式的分母不应为零； (2)零次或负次指数次幂的底数不为零； (3)偶次方根的被开方数大于或者等于零； (4)对数式的真数大于零； (5)底数大于0且不等于1； (6)的定义域为； (7)应用题中要结合实际情况考察定义域． 2. 抽象函数的定义域 抽象函数的定义域：在同一对应法则下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号内的部分同样作为函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集． 三、函数的解析式 1. 换元法求解析式 2. 解方程组法求解析式 3. 待定系数法求解析式 四、函数的值域 1. 利用函数单调性 2. 模型函数的应用 (1)二次型 (2)（对勾函数）模型 的性质和图像： ①定义域： ②值域： ③单调性：在上单调递增；在上单调递减 ④奇偶性：奇函数 ⑤图像： (3)模型： 的性质和图像： ①定义域： ②值域： ③单调性：在和上分别单调递增 ④奇偶性：奇函数 ⑤图像： 3. 分离常数 4. 换元（代数换元和三角换元） 5. 基本不等式 6. 几何法 典例精讲 【典例1】已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x+1，若对于任意实数x，不等式f（x2+a）+f（2ax）＞2恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，1] B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（0，2） 【分析】可设g（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，可判断g（x）为奇函数，求导得出g′（x）＝ex+e﹣x﹣2≥0，从而得出函数g（x）在R上单调递增，而由f（x2+a）+f（2ax）＞2可得，g（x2+a）+g（2ax）+2＞2，从而得出x2+2ax+a＞0恒成立，根据△＜0即可求出a的取值范围． 【解答】解：设g（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，则f（x）＝g（x）+1； g（﹣x）＝e﹣x﹣ex+2x＝﹣（ex﹣e﹣x﹣2x）＝﹣g（x）； ∴g（x）为奇函数； ∵g′（x）＝ex+e﹣x﹣2≥0； ∴g（x）在R上单调递增； 由f（x2+a）+f（2ax）＞2得，g（x2+a）+g（2ax）+2＞2； ∴g（x2+a）＞g（﹣2ax）恒成立； ∴x2+a＞﹣2ax恒成立； ∴x2+2ax+a＞0恒成立； ∴△＝4a2﹣4a＜0； 解得0＜a＜1； ∴实数a的取值范围是（0，1）． 故选：C． 【点评】考查构造函数解决问题的方法，奇函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，二次函数取值和判别式△的关系． 【典例2】若函数的值域为，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D． 【分析】由已知结合分段函数性质及指数函数与一次函数的性质即可求解． 【解答】解：由题意可得，单调递增且， 故，解可得，． 故选：． 【点评】本题主要考查了分段函数性质的应用，属于基础试题． 【典例3】设f（x）＝ln（x+1）﹣2，若f（a）＝1，f（b）＝﹣5，则a+b＝（　　） A．2 B．0 C．1 D．﹣2 【分析】令g（x）＝ln（），则 g（﹣x）＝ln（x）＝lng（x），所以g（x）为奇函数，再由f（a）＝1，f（b）＝﹣5可得g（a+1）＝﹣g（b+1）可得a+1+b+1＝0，可得a+b＝﹣2． 【解答】解：令g（x）＝ln（）， 则 g（﹣x）＝ln（x）＝lng（x），所以g（x）为奇函数， ∴f（a）＝g（a+1）﹣2＝1，所以g（a+1）＝3， f（b）＝g（b+1）﹣2＝﹣5，所以g（b+1）＝﹣3， g（a+1）＝﹣g（b+1），又g（x）为奇函数，所以a+1+b+1＝0，即a+b＝﹣2 故选：D． 【点评】本题考查了函数解析式的求解及