专题01 集合与常用逻辑用语-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第1讲 集合与常用逻辑用语 考点1：集合 一、集合的基本概念 1. 集合的定义 某些确定的不同对象集在一起，就构成一个集合．集合中每一个对象称为该集合的元素． 2. 集合中元素的性质 确定性：对于一个元素要么它属于某个指定集合，要么它不属于该集合，二者必居其一． 互异性：同一个集合的元素是互不相同的，相同的元素只能出现一次． 无序性：集合中的元素没有先后顺序． 注意：集合的互异性在解题中应用非常广泛，在解题时如果遇到集合中求解字母的值的问题，一定都要把值带回集合中检验，集合中是否有元素相等． 3. 集合的分类 按元素的属性：数集（构成集合中的元素是数）、点集（构成集合中的元素数点）等． 按元素的个数：空集、有限集、无限集． 二、集合的表示法 1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{}内； 例如：， 2. 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内 例如：大于的所有整数表示为： 方程的所有实数根表示为：{ |} 3. 图示法：Venn图法 例如：表示集合 4. 常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作； 正整数集，记作或； 整数集，记作； 有理数集，记作； 实数集，记作； 复数集，记作． 注意：用列举法表示集合时，元素与元素之间必须用“，”隔开；当集合中含有的元素较多时，一般用描述法表示，如果用列举法表示，可用省略号，但必须把元素间的规律表示清楚． 三、集合的基本关系 1. 子集： 如果集合的任何一个元素都是集合中的元素，则称是的子集（或包含），记作（或），读作“包含于”或“包含”． 2. 真子集 如果集合，并且存在且，则称集合是集合的真子集，记作：． 3. 集合相等 构成两个集合的元素完全一样．若且，则称等于，记作． 4. 空集：不含任何元素的集合叫做空集． 5. 空集的性质： (1)空集是任何一个集合的子集． (2)与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（）． (3)与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或． (4)显然，，． 6. 子集的个数： 设集合中元素个数为，则： ①子集的个数为， ②真子集的个数为， ③非空真子集的个数为． 四、集合与集合间的运算 1. 全集 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常用表示． 2. 补集 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记住作，如图 3. 交集： 一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与的交集．交集且． 4. 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集．并集或． 5. 集合的简单性质： (1),； (2)若，，则；若，，则； (3),； (4),； (5),； (6),; (7),,． 6. 容斥原理 定义：有限集的元素的个数叫做集合的基数，记为规定 基本公式： a. b. 注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 典例精讲 【典例1】已知集合，，，，，则的子集个数为　　 A．3 B．4 C．7 D．8 【分析】先求出集合中的元素，从而求出其子集的个数． 【解答】解：由题意可知， 集合，，，1，， 则的子集个数为：个， 故选：． 【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有个元素，其子集有个． 【典例2】设，，为实数，，记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【分析】根据已知可得的元素即为根的个数，的元素即为根的个数，结合类一次方程根的个数与一次项系数的关系和二次方程根的个数与△的关系分类讨论后，可得答案． 【解答】解：，，， ，，． 当，，，；故可能 当，，，；故可能 当，，，； 当，，，；故可能 当，，，； 当，，，； 综上，只有不可能发生， 故选：． 【点评】本题考查的知识点是分类讨论思想，方程的根及根的个数判断，熟练掌握类一次方程根的个数与一次项系数的关系和二次方程根的个数与△的关系是解答的关键． 二．填空题（共4小题） 【典例3】若集合，，则表示的曲线的长度为　　． 【分析】在同一坐标系内做出与的图象，得到表示的曲线，利用圆的弧长可求出结果． 【解答】解：由整理得：， 由整理得，且， 如图所示： 所以：表示的曲线为图中的上半圆去掉劣弧的上半部分． 圆心到直线的距离， 所以劣弧所对的圆心角为， 所以该曲线的长为 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点