3.4圆锥曲线与方程 全章复习与巩固-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固 【典型例题】 类型一：圆锥曲线的方程与性质 例1. 已知 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 依次构成等差数列，且 ， ，求顶点 的轨迹方程. 【解析】如右图，以直线 为 轴，线段 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意， 构成等差数列， EMBED Equation.3 ， 即 ，又 ， EMBED Equation.3 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中， ， ， 故 的轨迹方程为 . 举一反三： 【变式1】已知圆 的圆心为M1，圆 的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R， 由两圆外切的条件可得： ， 。 ∴ ∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2， ∴b2=12， 故所求轨迹方程为 。 【变式2】设Ｆ１、Ｆ２是双曲线x2－y2＝4的两焦点，Ｑ是双曲线上任意一点，从Ｆ１引∠Ｆ１ＱＦ２平分线的垂线，垂足为Ｐ，则点Ｐ的轨迹方程是　　　　　　． 【答案】设O为F1F2的中点， 延长F1P交QF2于A，连接OP， 据题意知：△AQF1为等腰三角形，所以QF1=QA ∵|QF1-QF2|=4，∴|QA-QF2|=4，即AF2=4 ∵OP为△F1F2A的中位线，∴OP=2 故点P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆， 方程为：x2+y2=4 例2．过原点的直线 与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹. 【解析】设AB的中点M(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)， 依题意，直线 的斜率必须存在，设为k，又直线 过原点， ∴直线 的方程为：y=kx， 将此式代入y=x2-2x+2 整理得：x2-(2+k)x +2=0 ∴x1+x2=2+k，∴ 由 消去k，得 。 又由于直线 与曲线有两交点，故(1)式中的判别式Δ>0, ∴(2+k)2-8>0, 解得 或 ∵ ， ∴ 或 ∴所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x( 或 )部分。 举一反三： 【变式1】设双曲线 的两个焦点分别是F1和F2，A 、B分别是双曲线两条渐近线上的动点， 且 ，求线段AB中点的轨迹方程. 【答案】设A点在渐近线 上, B点在渐近线 上， A(x1，y1)， B(x2，y2)，线段AB中点 M(x，y)， ∵ ， ∴ 由 =30,得 , ∴ , 化简得 . 【变式2】以抛物线 的弦AB为直径的圆经过原点O，过点O作OM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹方程. 【答案】设直线OA方程为 ，代入 得A点坐标为 ， ，∴ ，同理可得B( )， ∴直线AB方程为 ， 即: ① 直线OM方程为 ② ① ②,得: ， 即 为所求点M的轨迹方程. 类型二：直线与圆锥曲线相交 --- 弦的有关问题： 例3．设直线 过双曲线 的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若 ，求|AB|的值。 【解析】当AB⊥x轴时，点A（2，3），B（2，－3），不满足条件。 则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k(x－2)。 代入双曲线方程，得 即 。 设点 ， ， 则当Δ>0时， ， 。 从而 EMBED Equation.DSMT4 ∵ ，∴ ∴ ，解得 。 此时 ∴ ， 故由焦点弦长公式，得： 。 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 ，且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C， 若PC＝2AB，求直线AB的方程. 【解析】 (1)由题意，得 且 ， 解得 ，c＝1，则b＝1， 所以椭圆的标准方程为 ． （2）当AB⊥x轴时， ，又 ，不合题意． 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x－1)，A（x1，y1），B（x2，y2）， 将AB的方程代入椭圆方程，得 ， 则 ，C的坐标为 ，且 ． 若k=0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意． 从而k≠0，故直线PC的方程为 ， 则P点的坐标为 ，从而 ． 因为PC=2AB，所以 ，解得k=±1． 此时直线AB方程为y=x－1或y=－x+1． 【变式2】如图，设椭圆 ． (Ⅰ)求直线y＝kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)； (Ⅱ)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 【答案】(Ⅰ)设直线y＝kx+1被椭圆截得的线段为AP， 由 得 ， 故 ． 因此 ． (Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q， 满足|AP|＝|AQ|． 记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，