专题11 幂函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题11 幂函数 （幂函数的定义与图像，幂函数的性质） 知识梳理幂函数 一、幂函数 1、幂的有关概念： 正整数指数幂： 零指数幂： 负整数指数幂： 分数指数幂： 2、幂函数的定义： 形如的函数叫幂函数。 注意：幂函数的底数是变量x，系数是1，高中阶段指数取有理数。 3、幂函数的图象. 根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,的图象. 其中互质. 4、幂函数的性质 所有的幂函数在（0，）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1） k>0时：（图A） （1）图象都通过（0，0），（1，1）； （2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大（增函数）。 k<0时；（图B） （1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小（减函数） （3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。 设幂函数的指数，其中p、q互素 当p是偶数时，的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数； 当p是奇数时，如果q是偶数，那么是偶函数；如果q是奇数，那么是奇函数 当时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到 热身练习 1、下列命题中正确的是（） A 当m=0时，函数的图像是一条直线 B 幂函数的图像都经过（0,0），（1,1）两点 C 幂函数图像不可能在第四象限内 D 若幂函数为奇函数，则是定义域内的增函数 【难度】★【答案】C 2、 幂函数①,②及直线③，④将直角坐标系第一象限分成八个区域：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，那么幂函数的图象在第一象限中经过的区域是（） A．Ⅳ，Ⅶ ；B． Ⅳ，Ⅷ；Ｃ．Ⅲ，Ⅷ；D． Ⅲ，Ⅶ 【难度】★ 【答案】D ( Ⅴ Ⅱ Ⅲ Ⅷ Ⅵ Ⅶ O Ⅳ Ⅰ ) 3、设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为 【难度】★★【答案】1,3 4、求函数的定义域、值域，并判断其单调性 【难度】★★ 【答案】因为必为奇数，且大于0，所以定义域为，值域为，并且在上为增函数 例题解析 考点一、幂函数的概念 【例1】下列函数中，是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★【答案】A 【例2】函数的定义域是_____. 【难度】★★【答案】 【例3】函数是幂函数，求的值 【难度】★★【答案】-1或2 【例4】函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是 【难度】★★【答案】 【巩固训练】 1．如果幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. D. 【难度】★【答案】D 2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）. A. B. C. D. 【难度】★★【答案】B 3．求函数的定义域. 【难度】★★【答案】 4．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（）． A．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 B．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数 C．图像不经过点的幂函数，一定不是偶函数 D．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同 【难度】★★【答案】C 考点二、幂函数的奇偶性 【例5】已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且的图象关于y轴对称，求的值． 【难度】★★【答案】 【例6】已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式． 【难度】★★【答案】 【例7】的最大值为,最小值为，则= 【难度】★★【答案】2 【巩固训练】 1．幂函数是偶函数，且在上为增函数，求函数解析式. 【难度】★★【答案】或. 2．已知幂函数的图象与x轴、y轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象 【难度】★★ 【答案】图象与轴都无交点，，即．又，． 幂函数图象关于轴对称，，或． 当时，函数为，图象如图1；当时，函数为，图象如图1． 考点三、幂函数的图像和单调性 【例8】比较下列各组数的大小： （1） ，，；（2），，； （3），， 【难度】【答案】（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．∵在上单调递增，且，∴． （2）底数均为负数，可以将其转化为，，． ∵在上单调递增，且， ∴，即，∴． （3）先将指数统一，底数化成正数． ，，． ∵在上单调递减，且，∴， 即：． 【例9】幂函数y=在第二象限内为x的减函数，求m的最大负整数值 【难度】★★ 【答案】原函数即为y=（x≠0），要使得y=（x≠0）在第二象限有定义，则必为偶函数，于是m2+m-2>0，解不等式得m<-2或m>1，当m=-3时，m2+m-2=4是偶数，满足函数是偶函数，m=-3为所求。 【例10】已知函数，当为何值