2.3基本不等式及其应用（2）-2020-2021学年高一数学新教材配套课件（沪教版2020）

2020沪教版新教材 第二章等式与不等式 2.3.2三角不等式 关于绝对值还有什么性质呢? 实数的绝对值的定义: 复习引入 创设情境 在数轴上，你能指出实数a的绝对值 的几何意义吗？ 0 a x A 它表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离 那么， 的几何意义呢？ a b x B A 数轴上A,B两点之间的距离 O -b B 探 究 设a, b为实数， 你能比较 之间的大小关系吗？ 当ab>0时， 当ab<0时， 当ab=0时， 你能将上述情况综合起来吗？ 定理1 如果a,b是实数，则 当且仅当 时，等号成立。 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 ， 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？ 迁移类比 当向量 不共线时， O x y 当向量 共线时， 同向： 反向： 向量形式的不等式 当且仅当 和 同向时，等号成立。 由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等式为绝对值三角不等式。 证明:（1）当ab≥0时, （2） 当ab<0时, 综合（1）,（2）知定理成立. 定理1的代数证明 探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。 |a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|. 如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 定理2 如果a, b, c是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 定理2的几何解释: a b x A B c C a b x A B c C a b x A B c C 例1 已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证： |2x+3y-2a-3b|<5ε. 证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(