专题14排列组合-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题14排列组合 历年联赛真题汇编 1．【2004高中数学联赛（第01试）】设三位数，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( ) A．45个 B．81个 C．165个 D．216个 【答案】C 【解析】a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0.即. (1)若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中3个数码都相同，所以， (2)若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数码设为a，b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组(a，b)共有.但当大数为底时，设a>b，必须满足b<a<2b.此时，不能构成三角形的数码是： 共20种情况. 同时，每个数码组(a，b)中的2个数码填上3个数位，有种情况. 故. 综上. 2．【1999高中数学联赛（第01试）】在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛. 由题意，有，即， 由0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数. 3．【1986高中数学联赛（第01试）】平面上有1个点集M和7个不同的圆，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点……圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为( ) A．11 B．12 C．21 D．28 【答案】B 【解析】要使M中的点的个数最少，各圆要尽可能多地共同经过M中的点.因为不相同的两圆最多只有两个公共点.由于C7经过M中的7个点，所以C6至少要经过M中的另外4个点，而C5除了和C7，C6各有两个公共点外，还要经过M中的一个点，故M中至少要有12个点，且有12个点，就能满足要求：先作两两相交的3个圆，记为.再作圆C4与两圆都相交于另外的点(但与C5不相交).又过C5与C7的一个交点，作圆C3，使其与C5及C7各交一个新的点，将所有的交点都算作M中的点，此时M中的点为12个.C7与各有两个交点，又与C3有一个新交点，共7个点；C6与各有两个交点，共6个点；C5与各有两个交点，且与C3有一个新交点，共5个点；C4与C7，C6各有两个交点，共4个点；C3是过C7与C5的一个交点，且与其各交得一个新点，共有3个点.最后在M的12个点中，选取两个点、一个点分别作满足要求的圆是容易的事.故答案为B． 4．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】现有10张卡片,每张卡片上写有1,2,3,4,5中两个不同的数,且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为1,2,3,4,5的五个盒子中,规定写有i,j的卡片只能放在i号或j号盒子中.一种放法称为"好的",如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则"好的"放法共有 种. 【答案】120 【解析】用表示写有的卡片.易知这10张卡片恰为. 考虑"好的"卡片放法.五个盒子一共放有10张卡片,故1号盒至少有3张 卡片.能放入1号盒的卡片仅有. 情况一:这4张卡片都在1号盒中,此时其余每个盒中已经不可能达到4张 卡片,故剩下6张卡片无论怎样放都符合要求,有种好的放法. 情况二:这4张卡片恰有3张在1号盒中,且其余每盒最多仅有2张卡片. 考虑在1号盒,且在5号盒的放法数N. 卡片的放法有8种可能,其中6种是在2,3,4号的某个盒中放两张,其余2种则是在2,3,4号盒中各放一张. 若有两张在一个盒中,不妨设在2号盒,则只能在5号盒,这样5号盒已有,故分别在3号与4号盒,即的放法唯一; 若在2,3,4号盒中各一张,则2,3,4号盒均至多有2张卡片,仅需再使5号盒中不超过2张卡片,即有0张或1张在5号盒中,对种放法. 因此.由对称性,在情况二下有种好的放法. 综上,好的放法共有种. 5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】将6个数2、0、1、9、20、19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0)，则产生的不同的8位数的个数为 . 【答案】498 【解析】将2、0、1、9、20、19的首位不为0的排列的全体记为A. 易知|A|=5×5!=600(这里及以下，表示有限集X的元素个数). 将A中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B； A中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C； A中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D. 易知|B|=4!，|B|+|C|=5!，|B|+|D|=4×4!，即. 由B中排列产生的每个8位数，恰对应B中的2×2=