专题08平面向量-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题08平面向量 历年联赛真题汇编 1．【2005高中数学联赛（第01试）】空间四点A，B，C，D满足，，则的取值( ) A．只有一个 B．有两个 C．有四个 D．有无穷多个 【答案】A 【解析】因为， 由得， 两边平方得，故， 于是 . 只有一个值0， 故选A. 2．【2004高中数学联赛（第01试）】设点O在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ) A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】解法一如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则 ① ② 由式①与②得， 即与共线，且， 所以，所以. 故选：C. 解法二， 则， 所以， 则，所以. 引申如果题目条件是，熟悉物理的人很容易看出可以看成是3个两两成120°的同等大小的力.如果我们把延长1倍，延长2倍，不就照样可以用这种物理方法解决本道题了吗? 另外，我们可以将问题推广至三维情形：点O在四面体ABCD内，有，？ 实际上，向量前面的系数无关紧要，可以取负数，无理数，并不妨碍此题的简单本质. 解决此类问题，下面的结论是关键： 设C是AB上一点，则，其中. 3．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在椭圆中,A为长轴的一个端点,B为短轴的一个端点,为两个焦点.若,则的值为 . 【答案】 【解析】不妨设的方程为,A(a,0),B(0,b),,,其中. 由条件知. 所以. 4．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在凸四边形ABCD中,点P是四边形ABCD所在平面上一点,满足.设s,t分别为四边形ABCD与ΔPAB的面积,则= . 【答案】 【解析】不妨假设AD=2,BC=4.记M,N,X,Y分别是AB,CD,BD,AC的中点,则M,X,Y,N顺次共线并且MX=XY=YN=1. 由于, 故结合条件可知.故点P在线段XY上且.设A到MN的距离为h,由面积公式可知. 5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】平面直角坐标系中，已是单位向量，向量满足，且对任意实数t成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】不妨设.由于，可设， 则对任意实数t，有， 这等价于，解得，即. 于是. 6．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】若平面向量与垂直，其中m为实数，则的模为 . 【答案】 【解析】令2m=t，则t>0.条件等价于，解得t=3. 因此的模为. 7．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设O为△ABC的外心，若，则sin∠BAC的值为 . 【答案】 【解析】不失一般性，设△ABC的外接圆半径R=2.由条件知， ① 故. 取AC的中点M，则OM⊥AC，结合①知OM⊥BO，且B与A位于直线OM的同侧. 于是. 在△BOC中，由余弦定理得， 进而在△ABC中，由正弦定理得. 8．【2015高中数学联赛（第01试）】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC上(包含点D，C)的动点P与CB延长线上(包含点B)的动点Q满足，则向量与向量的数量积的最小值为 . 【答案】 【解析】不妨设A(0，0)，B(2，0)，D(0，1).设P的坐标为(t，1)(其中0≤t≤2)， 则由得Q的坐标为(2，－t)，故，, 因此， 当时. 9．【2013高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点A，B在抛物线y2=4x上，满足，F是抛物线的焦点，则 . 【答案】 【解析】点F坐标为(1，0).设，则, 故，即， 故，. 10．【2012高中数学联赛（第01试）】设P是函数的图像上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则的值是 . 【答案】 【解析】解法一设，则直线PA的方程为，即， 由得， 又，所以， 故. 解法二如图，设，则点P到直线x－y=0和y轴的距离分别为，. 因为O，A，P，B四点共圆(O为坐标原点)，所以， 故. 11．【2007高中数学联赛（第01试）】在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于 . 【答案】 【解析】因为，所以， 即， 因为，，， 所以， 即， 设与的夹角为，则有， 即，所以. 12．【2016高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，已知，求sinC的最大值. 【答案】 【解析】由数量积的定义及余弦定理知，， 同理得，. 故已知条件化为， 即. 由余弦定理及基本不等式，得 ， 所以. 等号成立当且仅当.因此sinC的最大值是. 优质模拟题强化训练 1．已知向量，且．若，则的最小值为（ ）． A． B．26 C． D．24 【答案】B 【解析】 作正方形，连接对角线，令、分别为对角线、边上一点，使得，，，. 故. 2．设、为两个相互垂直的单位向量,