江苏省南京市雨花台中学、山东省潍坊市部分学校2021届高三上学期10月联考数学试题（PDF版）

高三数学试题参考答案及评分标准 一暍选择题 棻棴 斄斅斆斈斆暋椂棴椄斄斅斈 二暍多项选择题 椆棶斅斈暋棻棸棶斄斅斆暋棻棻棶斅斆暋棻棽棶斄斆斈 三暍填空题 棻棾棶棸棶椂暋暋棻棿棶椲棾棳棲曓棭暋暋棻 棶椄棸暋暋棻椂棶椆椄棳 棽 棾 四暍解答题 棻椃棶解椇棬棻棭已知 棬 棭椉棸的解集为棬棴棾棳棻棭棳 故 棬 棭椊棸的一个根为棴棾棳 棾分…………………………………………………………… 所以棴 椊棴棾棳 棿分…………………………………………………………………………… 得 椊棾棶 分………………………………………………………………………………… 棬棽棭 棬 棭椊 棲 棬 棭椊 棲 棲棾棴棻椊 棲 棴棻棲棿 棴棻 椊 棴棻棲 棿 棴棻棲棽棳 椃分…………………… 因为 椌棻棳所以 棴棻棲 棿棴棻曒棽 棬 棴棻棭棬 棿 棴棻棭椊棿棳 椆分……………………………… 当且仅当 棴棻椊 棿棴棻棳即 椊棾时取等号棳 所以当 椊棾时棳 棬 棭取得最大值为椂棶 棻棸分……………………………………………… 棻椄棶证明椇棬棻棭取 的中点为 棳连结 棳 棳 棻分……………………………………… 在曶 棻 中棳 为中位线棳所以 曃 棻棳 椊棻棽 棻棳 棾分…………………………… 又因为 棻曃 棻棳 棻椊 棻棳 为 棻 的中点棳 所以 曃 棳 椊 棳 棿分………………………………… 所以 为平行四边形棳 所以 曃 棳又 煠平面 棳 灱平面 棳 所以 曃平面 棶 椂分…………………………………… 棬棽棭因为 棴 椊 棴 棳因为 为 棻 的中点棳 所以 到底面 的距离是 棻 到底面 的距离的一半棳 椃分……………………… 即三棱锥 棴 的高 椊棻棽 棻椊 棾棳 椄分……………………………………………… 又曶 的面积为 椊 棾棿 暳棬棽 棾棭 棽椊棾 棾棳 棻棸分………………………………………… 所以 棴 椊 棴 椊棻棾 椊 棻 棾暳棾 棾暳 棾椊棾棶 棻棽分…………………………………… 棭页棿共棬页棻第案答考参题试学数三高 棻椆棶解椇棬棻棭函数的定义域为棬棸棳棲曓棭棳 棻分………………………………………………… 当 椊棴棻时棳 棬 棭椊旍旑 棴 棲棻棳 棬 棭椊棻棴棻椊棻棴 棳 棾分…………………………… 所以 椊 棬 棭在棬棸棳棻棭上为增函数棳在棬棻棳棲曓棭上为减函数棳 分………………………… 故当 椊棻时棳 棬 棭取极大值 棬棻棭椊棸棳无极小值棶 椂分…………………………………… 棬棽棭原问题等价于棴 椌旍旑棬 棲棻棭在 椲棻棳棲曓棭上恒成立棳 椃分………………………… 设 棬 棭椊旍旑棬 棲棻棭炤 棬 棭椊棻棲 棴旍旑棬 棲棻棭 棽 棳 椄分……………………………………… 设 棬 棭椊棻棲 棴旍旑棬 棲棻棭炤 棬 棭椊 棻 棬棻棲 棭棽棴 棻 棻棲 椊 棴 棬棻棲 棭棽椉棸棬 曒棻棭棳 椆分……… 所以 棬 棭是减函数棳所以 棬 棭曑 棬棻棭椊棻棽棴旍旑棽椉棸棬棿椌 炤棽椌 棻 棽 棭棳 棻棸分……………… 据此可得 棬 棭椉棸恒成立棳所以 棬 棭是减函数棳 棬 棭旐斸旞椊 棬棻棭椊旍旑棽棳 所以棴 椌旍旑棽棳曕 椉棴旍旑棽棶 棻棽分…………………………………………………………… 棽棸棶证明椇棬棻棭因为 椊棻棽 棳且 为线段 的中点棳所以 椊 棳 又因为 曃 棳所以四边形 为平行四边形棳 所以 曃 棳 棻分…………………………………………………………………………… 又因为 灱平面 棳 煠平面 棳所以 曃平面 棳 又平面 暽平面 椊 棳所以 曃 棳 棾分……………………………………… 又 曂 棳且平面 曂平面 棳平面 暽平面 椊 棳 所以 曂平面 棳 所以 曂平面 棳 分…………………………………………………………………… 又 灱平面 棳所以 曂 椈 椂分…………………………………………………… 棬棽棭因为 椊 棳 为线段 的中点棳所以 曂 棳 又因为平面 曂平面 棳所以 曂平面 棳 椃分…………………………… 以 为坐标原点棳曻 的方向为 轴正方向建立如图所示的空间 直角坐标系 棴 椈 则 棬棸棳棸棳棻棭棳 棬棸棳棻棳棸棭棳 棬棸棳棸棳棸棭棳 棬棴棻棳棸棳棸棭棳 则 曻椊棬棸棳棻棳棴棻棭棳曻椊棬棸棳棴棻棳棸棭棳曻 椊棬棻棳棸棳棻棭棳 设 曻 椊 曻 棳得 棬棴棻棳棸棳棭棳 所以 曻椊棬棴棻棳棸棳棭棳 椆分………………………………………………………………… 棭页棿共棬页棽第案答考参题试学数三高 设平面 的法向量为 曻椊棬 棳 棳棭棳 则 曻暏曻椊棸 曻暏曻椊棸楙 棳即 椊棸棬棴棻棭棴 棲 椊棸楙 棳 不妨令 椊 棳可得 曻椊棬棳棸棳棻棴 棭为平面 的一个法向量棳 棻棸分………………… 设直线 与平面 所成角为 棳 于是有旙旈旑 椊楛斻旓旙暣曻棳曻暤楛椊 曻暏曻