七年级动点专题12：动角中的行程问题

七年级动点专题12：动角中的行程问题 【方法导引】 例1如图，已知∠AOB=60°，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为lcm/s；P、Q同时出发，同时射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转，设运动时间是t（s）．（1）当点P在MO上运动时，PO=______cm（用含t的代数式表示）； （2）当点P在线段MO上运动时，t为何值时，OP=OQ？此时射线OC是∠AOB的角平分线吗？如果是请说明理由． （3）在射线OB上是否存在P、Q相距2cm？若存在，请求出t的值并求出此时∠BOC的度数；若不存在，请说明理由． 【小试牛刀】如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC=4cm，则EF=______cm． （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB=142°，∠COD=38°，则∠EOF=______．由此，你猜想∠EOF、∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 例2.定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角如图1，若，则是的内半角． 如图1，已知，，是的内半角，则______； 如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角． 已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以3度秒的速度按顺时针方向旋转如图，问：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【素养提升】 1.如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方． 将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周如图2，经过t秒后，OM恰好平分求t的值；此时ON是否平分？请说明理由； 在问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分？请说明理由； 在问的基础上，经过多长时间OC平分？请画图并说明理由． 2.如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动． （1）AC=______cm，BC=______cm； （2）当t=______秒时，点P与点Q第一次重合；当t=______秒时，点P与点Q第二次重合； （3）当t为何值时，AP=PQ？ 参考答案 【方法导引】 例1解：（1）当点P在MO上运动时，由运动知，PM=2t， ∵OM=18cm， ∴PO=OM-PM=（18-2t）cm， 故答案为：（18-2t）； （2）由（1）知，OP=18-2t， 当OP=OQ时，则有18-2t=t， ∴t=6 即t=6时，能使OP=OQ， ∵射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转， ∴∠AOC=5°×6=30°， ∵∠AOB=60°， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°=∠AOC， ∴射线OC是∠AOB的角平分线， （3）分为两种情形． 当P、Q相遇前相距2cm时， OQ-OP=2 ∴t-（2t-18）=2 解这个方程，得t=16， ∴∠AOC=5°×16=80° ∴∠BOC=80°-60°=20°， 当P、Q相遇后相距2cm时，OP-OQ=2 ∴（2t-18）-t=2 解这个方程，得t=20， ∴∠AOC=5°×20=100° ∴∠BOC=100°-60°=40°， 综合上述t=16，∠BOC=20°或t=20，∠BOC=40°． 【小试牛刀】解：（1）∵AB=20cm，CD=2cm，AC=4cm， ∴DB=14cm， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴CE=AC=2cm，DF=DB=7cm， ∴EF=2+2+7=11cm， 故答案为：11； （2）EF的长度不变． ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴EC=AC，DF=DB， ∴EF=EC+CD+DF =AC+CD+DB =（AC+BD）+CD =（AB-CD）+CD