七年级动点专题11：动角问题

七年级动点专题11：动角问题 （说明：本专题包括解题方法导引、阅读探究、变式训练的牛刀小试和课后探究的素养提升三个栏目，先是学案，后面附有参考答案。） 【方法导引】探究与发现： 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 已知：如图1，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系． 探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图2，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系． 探究三：若将改为任意四边形呢？ 已知：如图3，在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 【导引】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解； 探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； 探究三：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可． 【小试牛刀】如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数． （1）若∠A=50°，则∠BPC=　　； （2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC=　　（用∠A表示）； （3）如图2，若BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，交于点P，则∠BPC=　　．（用∠A表示），并说明理由． 2.在3×3的正方形ABCD的方格中，1+2+3+4+5+6+7+8+9之和是多少度？ 3.如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠,若∠EFG=50º, (1)找出图中也是50º的角; (2)说明∠FGM=2∠EFG=100º的理由. 4、如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转． （1）直接写出∠DPC的度数． （2）如图②，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当PC与PB重合时，求旋转的时间是多少？ （3）在（2）的条件下，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请直接写出旋转的时间． 【素养提升】 1.如图3，把长方形纸片沿折叠，使，分别落在，的位置，若，则等于（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2.如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE． （1）求∠BOD的度数； （2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）． ①当t为何值时，直线EF平分∠AOB； ②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值． 3.如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB=∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是  ． （2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 4. O是直线AB上一点，是直角，OE平分． 若，则______；若，则______； 若，则______用含的式子表示，请说明理由； 在的内部有一条射线OF，满足，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 5.如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α=∠β的图形有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠ BOC=120°，将一直角 三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠ BOC的内部，且OM恰好平分∠ BOC．此时∠ AOM=______°； （2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠ AOC的内部．试探究∠ AOM与∠ NOC满足什么等量关系，并说明理由； （3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠ AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是________秒． 参考答案 【方法导引】解：探究一：，， ； 探究二：、分别平分和， ，， ； 探究三：、分别平分和， ，， ． 【小试牛刀】解：（1）∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=（∠AB