江苏省南通市如东高级中学、沭阳如东中学2021届高三10月联考数学试题（含解析）

2020-2021学年如东中学10月高三月考 高一试题 一、选择题（本大题共8小题，共40分） 已知集合0，1，2，，0，，，则       A. B. 2， C. 0， D. 0，2， 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查集合的并集与补集的混合运算，是基础题． 先计算出，再求补集即可． 【解答】 解：因为 所以， 又 所以． 故选A． 设，则“”是“”的      A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查了充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题． 由不等式知选A． 【解答】 解：不等式，所以能推出，但反过来推不出， 故选A． 若，则下列结论正确的是                                 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查指数函数和对数函数的单调性，是基础题． 由函数单调递增，化简为得即可求解． 【解答】 解：由得， 因为函数在R上单调递增， 所以， 所以， 所以． 故选A． 已知，且，则                         A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题． 根据题意得到，进而得到即可． 【解答】 解：因为， 所以，即， 解得：舍去或， 因为， 所以， 故选A． 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则        A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了抛物线与椭圆的标准方程及几何性质，属于基础题． 根据抛物线的焦点坐标为，列方程即可求得结果． 【解答】 解：根据抛物线的焦点坐标为，所以根据焦点相同得到， 解得． 故选D． 已知 ，向量 ， ，若，则实数     A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查平面向量模、平面向量数量积的坐标运算，属于基础题． 由，可得0，结合向量坐标计算可得实数n的值． 【解答】 解：因为， 所以，即0， 因为向量 ， ， 所以， 即． 故选D． “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆： 的离心率为 ，则椭圆的蒙日圆方程为                   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查椭圆的离心率和新定义问题，属于中档题． 先根据椭圆的方程和离心率求出a的值，再取特殊点，，从而可得到两条切线方程以及切线的交点P，将点P的坐标代入蒙日圆的方程即可求出其半径，进而得解． 【解答】 解：椭圆的离心率为， ，解得． 椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上， 找两个特殊点，分别为，， 对应的两条切线分别是，，这两条直线的交点为， 点P在蒙日圆上， ， 椭圆C的蒙日圆方程为． 故选B． 已知M为函数的图像上任意一点，过M作直线MA，MB分别与圆相切于A，B两点，则原点O到直线AB得距离的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查圆的切线方程的求法，以及点到直线的距离公式和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题． 可设，设，由圆上一点的切线方程，可得MA，MB的方程，进而得到AB的方程，由点到直线的距离公式，结合基本不等式可得所求最大值． 【解答】 解：可设，， 设， 由圆的切线方程可得MA：， MB：， 由M为AM，BM的交点，可得， ， 由过两点确定一条直线，可得AB的方程为， 即有O到AB的距离为， 当且仅当时，距离d取得最大值． 故选B． 二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分） 设M，N是抛物线上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为，则下列说法错误的是 A. B. 以MN为直径的圆的面积大于 C. 直线MN过抛物线的焦点 D. O到直线MN的距离不大于2 【答案】ABC 【解析】 【分析】 本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及直线的斜率公式的应用，直线恒过定点问题，考查转化思想，计算能力，属于中档题． 斜率不存在时，可求得MN的方程，即可判断，，以MN为直径的圆的面积，可判断A，B． 斜率存在时，设直线MN的方程，代入抛物线方程并联立即可求得直线MN恒过定点，可判断D． 根据抛物线几何性质求得焦点坐标，可判断C． 【解答】 解：当直线MN的斜率不存在时，设，， 由斜率之积为，可得，即，所以MN的直线方程为 当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，可得． 设，，则，， 所以，即所以