专题16 锐角的三角比-2020年中考数学母题题源解密（上海专用）

专题16 锐角的三角比 母题揭秘中考四大考点： 1、锐角三角比的意义，特殊的锐角三角比的比值代数运算问题； 2、解直角三角形，利用勾股定理和锐角三角比相互结合解直角三角形； 3、实际问题：测量问题、航海问题、坡度问题、方案设计问题等； 4、数学模型相互渗透问题：与四边形结合、与相似形结合、与圆结合、与函数结合等综合问题。 【母题来源1】（2020·上海中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____． 【母题来源2】（2018·上海中考真题）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=． （1）求边AC的长； （2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值． 【母题来源3】（2017·上海中考真题）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____． 考点一、锐角三角比的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即； 同理；；． 知识要点： 　　(1)锐角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． 　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． 　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角比值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． 　　(4)由锐角三角比的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0． 考点二、特殊角的三角比的比值 　　　利用锐角三角比的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，归纳如下： 知识要点： 　　(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比的比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． 　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　 　　、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时， 　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) 　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 考点三、锐角三角比之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　　(1)互余关系：，； 　　(2)平方关系：； 　　(3)倒数关系：或； 　　(4)商数关系：． 【母题来源4】（2018·上海中考真题）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=． （1）求边AC的长； （2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值． 【母题来源5】（2019·上海中考真题）如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）.已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米. （1）求点D'到BC的距离； （2）求E、E'两点的距离. 【母题来源6】（2017·上海中考真题）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC． （1）求sinB的值； （2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长． 考点四、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关