专题09 幂与指数（指数幂的拓展）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题09 幂与指数（指数幂的拓展） 知识梳理 一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 2．运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）. 二、根式的概念和运算法则 1．n次方根的定义： 若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根. n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为； n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为. 2．两个等式 （1）当且时，； （2） 要点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质 (1) (2) (3) 当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如； (3)幂指数不能随便约分.如. 2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算. 例题解析 一、根式 例1.计算：（1）； （2）. 【答案】 【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式. （1） =+- = =||+||-|| =+-（） =2 （2） = = = 【总结升华】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以. 【巩固训练】 【变式1】化简：（1）； （2） 【答案】（1）；（2）。 二、指数运算、化简、求值 例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】；；； 【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。 （1） （2）； （3）； （4）解法一：从里向外化为分数指数幂 == = = = 解法二：从外向里化为分数指数幂。 = == = = 【总结升华】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。 【巩固训练】 【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）； 【答案】（1）；（2）。 【变式2】把下列根式化成分数指数幂： （1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】；；； 【解析】（1）=； （2）； （3）； （4）= =。 例3.计算： (1)； (2) (3)。 【答案】3；0；2 【解析】(1)原式=； (2)原式=； (3)原式=-5+6+4--(3-)=2； 【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂. 【巩固训练】 【变式1】计算下列各式： (1)；　　(2). 【答案】(1)112 （2） 【解析】(1)原式=； (2)原式. 例4.化简下列各式. （1）； （2）；　　（3）. 【答案】；；0.09 【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算. （1）原式； （2） （3） 【巩固训练】 【变式1】化简 【答案】 【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解， 原式 . 【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数. 【变式2】化简下列式子： (1) (2) (3)