第2章 常用逻辑用语【章末复习】-2020-2021学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

第2章 常用逻辑用语章末复习 一、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． (3)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．集合与充分、必要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有： (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 二、全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题． 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)． (3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． (4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)． 2．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，p(x) 一、充分条件、必要条件与充要条件 1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养． 例1　(1) 条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是    A. B. C.   D. 【答案】C 【解析】 ， ， 即， 是q的充分不必要条件， ， 故选C． (2)设p：实数x满足A＝{x|x≤4a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B＝{x|－6≤x<－1}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】∵q是p的充分不必要条件，∴BA， ∴或 解得a≤－6或－≤a＜0， ∴a的取值范围为. 反思感悟　充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假． (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件． 跟踪训练1　(1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】|x－2|<1⇔1<x<3， 由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集， 所以“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的充分不必要条件． (2)若－a<x<－1成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________． 【答案】a>2. 【解析】根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系， 应有{x|－2<x<－1}{x|－a<x<－1}， 所以－a<－2，解得a>2. 二、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定． 2．通过含有量词的命题的否定培养逻辑推理素养． 例2　已知命题p：∃x，y∈Z，x2＋y2＝2 020，则p的否定为(　　) A．∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 020 B．∃x，y∈Z，x2＋y2≠2 020 C．∀x，y∈Z，x2＋y2＝2 020 D．不存在x，y∈Z，x2＋y2＝2 020 【答案】A 【解析】含有存在量词的命题的否定，只需将存在量词改为全称量词，再将结论否定即可．所以p的否定为∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 020. 反思感悟　对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论． 跟踪训练2　命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________． 【答案】所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 【解析】把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 三、与全称(存在)量词命题有关的参数问题 1．以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对命题进行化简，然后依据命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可． 2．利用命题的真假求参数范围等，培