4.4.3 指数函数、对数函数、幂函数综合-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

指数函数、对数函数、幂函数综合 类型一：指数、对数运算 例1．计算 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 【解析】（1）原式= ； （2）原式= = =1- + =1 （3）原式= = =2+ =3； （4）令 EMBED Equation.DSMT4 ，两边取常用对数得 = = = 即 =14． 举一反三： 【变式1】 =（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】 = ． 【变式2】（1） ； （2） ． 【解析】（1） 原式 ； （2） 原式 ． 类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质 例2．设偶函数 满足 ，则 = （ ） A． B． C． D． 【解析】 且 是偶函数． ， 或 EMBED Equation.DSMT4 或 ，解得 或 ，故选B． 举一反三： 【变式1】已知函数 若 ，则 的取值范围是（ ）． A． B． 或 C． D． 或 【答案】A 【解析】依题意 或 即 或 ，所以 ． 例3．设函数 若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】一：①若 ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ，得 ，得 ，得 ． ②若 则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，解得 由①②可知 例4．函数 的单调递增区间是（ ） A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2） 【答案】D【解析】函数 是减函数， 在 上单调递增，在 上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即 ，解得 或 ，所以原函数的单调递增区间是 例5．已知函数 （a＞0，a≠1）在区间[―1，2]上的最大值为8，最小值为m． 若函数 是单调增函数，则a=________． 【解析】根据题意，得3－10m＞0，解得 ； 当a＞1时，函数 在区间[－1，2]上单调递增，最大值为 ，解得 ，最小值为 ，不合题意，舍去； 当1＞a＞0时，函数 在区间[―1，2]上单调递减，最大值为 ，解得 ，最小值为 ，满足题意； 综上， ． 举一反三： 【变式1】已知 ，该函数在区间[a，b]上的值域为[1，2]，记满足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P（a，b），则由点P构成的点集组成的图形为（ ） A．线段AD B．线段AB C．线段AD与线段CD D．线段AB与BC 【答案】C 【解析】∵函数 的图象为开口方向朝上，以x=1为对称轴的曲线，如图． 当x=1时，函数取最小值1，若 ，则x=0，或x=1 而函数 |在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]， 则 或 ， 则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为： 【变式2】已知函数 若 互不相等，且 ， 则 的取值范围是（ ）． A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24） 【答案】C 【解析】由 互不相等，结合图象知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设 ，由 得 即 ，所以 ，所以 . 类型三：综合问题 例6．已知定义域为 的函数 是奇函数。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围 【解析】（Ⅰ）因为 是奇函数，所以 =0，即 又由f（1）=－f（－1）知 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知 ，易知 在 上 为减函数。又因 是奇函数，从而不等式： 等价于 = ，因 为减函数，由上式推得： 即对一切 有： ， 从而判别式 （或: 即对一切 有： ，又 ∴ 举一反三： 【变式1】已知函数 ，（a＞0，且a≠1）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由； （3）设 ，解不等式f（x）＞0． 【解析】（1）依题意知， 解得 函数f（x）的定义域为 ． （2）函数 是奇函数 任取 ， ，所以 =0 所以函数 是奇函数． （3）因为 ，所以 由 ，得 解得 ， ． 例7．设 （其中a为实数），如果当 时恒有 成立，求实数a的取值范围． 【解析】依题意， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 在 上恒成立． 则设 只需求 的最大值， 任取 且 ， = 由于 是单调递减