3.2.1 基本不等式的证明（练习）-2020-2021学年上学期高一数学同步精品课堂（新教材苏教版必修第一册）

3.2.1 基本不等式的证明 【基础练习】 1．下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若 则 D．若，则 2．若，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A.a<v< B.v＝ C.<v< D.v＝ 4．已知，则下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 5（多选题）设正实数满足，则（ ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 6．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________. 7．已知，则的最大值是 . 8．若，则的最小值为　　　　　． 9．设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2. 10．已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b. 【能力提升】 11． 设x>0，求证：x＋≥. 12． 已知，，均为正实数，求证：若，则. 第 13 页 共 13 页 $$ 3.2.1 基本不等式的证明 【基础练习】 1．下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若 则 D．若，则 【答案】D 【解析】若，，则，若，，则，故A错误； 推不出，如，故B错误；若， 但，故C错误若，则，故D正确 2．若，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，因为，所以，所以该选项错误； 对于，,所以该选项正确； 对于，因为所以所以，所以该选项错误； 对于，因为所以所以，所以所以，所以该选项错误. 3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A.a<v< B.v＝ C.<v< D.v＝ 【答案】A 【解析】设甲、乙两地的距离为s，则v＝＝. 由于a<b，∴＋<，∴v>a，又＋>2，∴v<.故a<v<，选A. 4．已知，则下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，当且仅当时，等号成立，A成立； ，当且仅当时，等号成立，B成立；∵，∴，当且仅当时，等号成立，C成立；∵，且，∴，，当且仅当时，等号成立，D不成立． 5（多选题）设正实数满足，则（ ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】 ACD 【解析】选项A：因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故A正确；选项B：因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故B不正确；选项C: 因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故C正确；选项D: 因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故D正确.一般来说对于是正实数，有以下不等式成立： （当且仅当时取等号）. 6．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________. 【答案】 x<y 【解析】x2＝，y2＝a＋b＝. ∵a＋b>2(a≠b)，∴x2<y2，∵x，y>0，∴x<y. 7．已知，则的最大值是 . 【答案】 9 【解析】，，故的最大值是16， 此时. 8．若，则的最小值为　　　　　． 【答案】 2 【解析】 ，当且仅当时取“”. 9．设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2. 【证明】由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，由于a＋b>0，则ab＝1，即有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时取得等号，∴a＋b≥2. 10．已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b. 【证明】∵a，b>0，∴＋b≥2＝2a，＋a≥2＝2b，∴＋b＋＋a≥2a＋2b，∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立. 【能力提升】 11．设x>0，求证：x＋≥. 【证明】, 当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立. 12． 已知，，均为正实数，求证：若，则. 【证明】因为均为正实数， 由不等式的性质知，当且仅当时，取等号， 当且仅当时 ，取等号，当且仅当时，取等号，以上三式相加，得 所以，当且仅当时，取等号． 第 13 页 共 13 页 $$