1.4.2 充要条件（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

1．4.2　充要条件 学习目标　1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明． 知识点　充要条件 1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 思考1　若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．这种说法对吗？ 答案　正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确． 思考2　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 答案　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 1．“x>1”是“x＋2>3”的________条件． 答案　充要 解析　当x>1时，x＋2>3；当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件． 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件． 答案　必要不充分 解析　设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件． 3．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件． 答案　充分不必要 4．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件． 答案　充要 解析　因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r， 所以p是r的充要条件． 一、充分、必要、充要条件的判断 例1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 解　(1)当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，[来源:学科网ZXXK] 故p是q的必要不充分条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分又不必要条件． 反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 跟踪训练1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p：x2>0，q：x>0； (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0， 故p是q的必要不充分条件． (2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除， 故p是q的充分不必要条件． (3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等， q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 故p是q的必要不充分条件． (4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， ∴p是q的充要条件． 二、充要条件的证明 例2　设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明　必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0， 则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0. 两式相减，得x0＝， 将此式代入x＋2ax0＋b2＝0， 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0， 即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故两方程有公共根x＝－(a＋c)． ∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. (学生) 反思感悟　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x