第7天 选修极坐标与不等式(解析版）-2021届高三数学（理）十一假期7天练

第7天 选修极坐标与不等式 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 1．在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线过极坐标系内的两点和. (1)写出曲线的普通方程,并求直线的斜率; (2)设直线与曲线交于两点,求. 【答案】（1），；（2） 【解析】 (1)由题意得曲线的普通方程为,∵,∴直线的斜率为. (2)易知直线的参数方程为为参数)，代入,得, 设方程的两个根为,所以. 2．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为. （Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出是何种曲线； （Ⅱ）若射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点，求面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ），曲线是以为圆心，为半径的圆；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由（为参数）化为普通方程为， ，整理得，曲线是以为圆心，为半径的圆. （Ⅱ）令，，，，，，，面积的取值范围为 3．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线经过点且倾斜角为. （1）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程； （2）已知直线与曲线交于点，且满足，求. 【答案】（1），；（2）或. 【解析】（1）将曲线：，（为参数），消参得， 直线的参数方程为，（为参数，）. （2）设对应的参数分别为，将直线的参数方程代入的直角坐标方程， 整理得，所以，.因为，所以，因此，，所以，展开整理可得， ，即或 ，经检验符合题意，∴或. 4．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为，（为参数）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程； （2）直线的极坐极方程为，直线与曲线和分别交于不同于原点的两点，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由得两式平方相加，得， 又，所以曲线的极坐标方程为. （2）由得，消去，得，曲线的极坐标方程为.设，所以，，解得，.故. 5．在极坐标系中，直线的方程分别为，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线的方程与曲线的方程化成直角坐标方程； （2）过曲线上动点作直线的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由得直线的直角坐标方程分别为， 曲线的方程为； （2）由（1）知曲线，故可设，矩形的两边长分别为， ∴矩形的面积， 令，则， ，当时，. 6．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线. （1）求曲线的普通方程和极坐标方程； （2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围. 【答案】（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2） 【解析】（1）， ，即曲线的普通方程为，依题意得曲线的普通方程为， 令，得曲线的极坐标方程为； （2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则，，，异号 ， ，，； 法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，则，，，异号 ，，. 7．（1）解不等式； （2）若成立，求常数的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【解析】（1）由，得，所以或 解得：或，故不等式的解集为：或 （2）由已知得：， 当a=1时，恒成立； 当a>1时，,即，从而； 当a<1时，,即，从而； 综上：a的取值范围是： 8．已知函数． （1）若，解不等式； （2）对任意的实数，若总存在实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）当时，，化为或或 解得或或，.即不等式的解集为. （2）根据题意，得的取值范围是值域的子集. 又由于，的值域为，故，. 即实数的取值范围为. 9．已知关于的不等式有解，记实数的最大值为. （1）求的值； （2）正数满足，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）,若不等式有解， 则满足，解得，∴. （2）由（1）知正数满足， ∴ .当且仅当，时，取等号. 10．已知关于的不等式的解集不是空集. （1）求实数的取值范围； （2）求函数取得最小值时的的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）关于的不等式的解集不是空集，. 根据绝对值三角形不等式，有，当且仅当时取等号， 故实数的取值范围为； （2）由（1）得，则，当且仅当，即时取等号， 所以函数取得最小值时的值为. 11．已知，. （1）证明：；（2）若，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）. 因为，，所以，而， 所以.于是. （2）因为，所以. 因为，当且仅当等号成立，所以