第5天 平面解析几何-2021届高三数学（理）十一假期7天练

第5天 平面解析几何 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．阿基米德（公元前287年～公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，他研究了圆锥曲线许多性质，曾利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴之积.若椭圆C的两个焦点为，，P为椭圆上一点，的面积最大值为12，且椭圆离心率为，则椭圆C的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆长半轴与短半轴分别为，的面积最大值为12，椭圆离心率为， 则，解得，，，由题意可知，所以椭圆C的面积为，故选：A. 2．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为，设，因为，即线段的中点，所以，所以直线的斜率， 当且仅当，即时等号成立，所以直线的斜率的最大值为1.故选：A. 3．已知双曲线：的左，右焦点分别为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于点，，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】由题,以为直径的圆与的一条渐近线交于点,则,因为，所以,,设原点为,因为为的中点,所以在中,,所以,所以一条渐近线方程为,即,所以,故选:A 4．已知抛物线C：过定点的直线与抛物线C相交于点P、Q，若为常数，实数a的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设，，直线，联立方程，，， ，为常数，，满足.所以实数a的值为1.故选：A. 5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则 ，故有，解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为 6．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点， 所以，则， 当时，，当时，， 当且仅当时取等号，此时，，点在以为焦点的椭圆上，，由椭圆的定义得，所以椭圆的离心率，故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 7.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为______. 【答案】 【解析】设点，则因为，所以由可得，再由抛物线的定义可得：，即，所以，，所以的面积为，所以的面积为，所以，即。 8．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】依题意可得如下图象，，，所以，则，所以 所以，所以，即，故选：A 9．已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，为坐标原点，则的面积是__________. 【答案】 【解析】抛物线的准线方程为，设，过点作准线的垂线，如图， 由抛物线的定义可知，，∴，∴，设直线的方程为，由，得，∴，∴，∴的面积. 10.经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是_____． 【答案】 【解析】设点，则、，设点， 则，两式相减得，即，即，由斜率公式得，，，故，因此，. 三、解答题（本大题共2小题，每题12分，共24分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 11.在平面直角坐标系中，，，且满足.记点的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）；（2）存在定点 【解析】（1）由，得，设点的坐标为，则： ，化简得，曲线的方程为 是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点） （2）假设存在的定点符合题意 由题意知：直线的斜率分别为，，由题意及（1）知：直线与直 线均不重合，当直线的斜率存在时，设其方程为，，由，得直线的倾斜角互补，故 又 ①，由消去，整理得：. ，又，②，代②入①得：③，当