第3天 立体几何-2021届高三数学（理）十一假期7天练

第3天 立体几何 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B． 2. 一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为2×，所以几何体体积为，选B． 3．如图，在中，点M是边的中点，将沿着AM翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】A 【解析】二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等. 故，即，两三棱锥高相等，故，故，故为中点. 4.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上， 从到的路径中，最短路径的长度为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】三视图还原几何体为一圆柱，如图， 将侧面展开，最短路径为连线的距离， 所以，所以选B. 5．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴； SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴， ∴等腰△SCF中，. 6.在三棱锥中，，且底面为正三角形，为侧棱的中点，若，棱锥的四个顶点在球的表面上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在三棱锥中,,且底面为正三角形,所以三棱锥为正三棱锥，设的中点为,连结,,如下图所示:因为,,且 ，所以平面,由直线与平面垂直的性质可知,又,，所以平面,则,,则底面正三角形的边长为，设该正三棱锥的外接球球心为,底面的中心为.由正三棱锥的性质可知 平面，则 ， 由勾股定理可得，设外接球的半径为R,则,解得 ，所以球的表面积为. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 7．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积_____________． 【答案】 【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为. 8．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为 长方体挖去四棱O—EFGH后所得的几何体，其中 O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点， ，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3， 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量______g. 【答案】118.8 【解析】由题意得，，∵四棱锥O−EFGH的高为3cm， ∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为． 9．如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，现在沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则四面体的高为__________． 【答案】 【解析】如图，由题意可知两两垂直，∴平面， ∴，设P到平面的距离为h， 又，∴， ∴，故。. 10．在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______． 【答案】 【解析】如图，在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接PF，CF，OP.由，得，是以为斜边的等腰角三角形，,又平面平面，平面，，，则为棱锥的外接球球心，外接球半径，该三棱锥外接球的表面积为，故答案为. 三、解答题（本大题共2小题，每题12分，共