专题17平行四边形的证明- 2020年中考数学母题题源解密（新疆专用）

专题17平行四边形的证明 【母题来源】2020年新疆中考数学-18 【母题题文】如图，四边形ABCD是平行四边形，//，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF． （1）求证：AE=CF； （2）若BE=DE，求证：四边形EBFD为菱形． 【试题解析】 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】 （1）结合题目条件，通过证明△BCF≌△DAE来证明AE=CF即可； （2）由△BCF≌△DAE，得到BF=DE，而//，得到四边形BFDE为平行四边形，结合BE=DE，即可得证． 【详解】 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形； ∴AD//BC，AD=BC ∴∠BCF=∠DAE; 又∵DE//BF ∴∠BFE=∠DEF; ∴∠BFC=∠DEA; 在△BCF和△DAE中： ∴△BCF≌△DAE（AAS） ∴CF=AE （2）由（1）得△BCF≌△DAE； ∴BF=DE; 又∵BF//DE； ∴四边形BFDE为平行四边形； 又∵BE=DE； ∴平行四边形BFDE为菱形 【点睛】 本题主要考察了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定以及菱形的判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关的判定和性质进行推理证明． 【命题意图】 这类题目主要考察几何图形的证明与计算，尤其是特殊的平行四边形的证明。首先，学生必须要掌握基本几何问题的证明思路与步骤，再者，需要学生对于平行四边形与特殊平行四边形的判定定理要非常熟悉地掌握；针对不同类型的已知条件选择合适的判定方法进行证明。 【命题方向】 考察全等三角形的证明，证明平行四边形，证明特殊平行四边形，同时考察平行线的性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质。 【得分要点】 1．【2019·新疆】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF. 求证：（1）△ODE≌△FCE; （2）四边形OCFD是矩形． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意得出，，根据AAS即可证明； （2）由（1）可得到，再根据菱形的性质得出，即可证明平行四边形OCFD是矩形. 【详解】 证明：（1）， ，. E是CD中点，， 又 (AAS) （2）， ，. ， 四边形OCFD是平行四边形， 平行四边形ABCD是菱形， . 平行四边形OCFD是矩形. 【点睛】 此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答. 2．【2018·新疆】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【答案】（2）证明见解析；（2）四边形EBFD是矩形．理由见解析. 【解析】 分析：（1）根据SAS即可证明； （2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 在△DEO和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF． （2）结论：四边形EBFD是矩形． 理由：∵OD=OB，OE=OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD=EF， ∴四边形EBFD是矩形． 点睛：本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．【2017·新疆乌鲁木齐·中考真题】如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，且，求证：AF∥CF. 【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析：连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA=OC，OB=OD；然后结合已知条件证得OE=OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论． 试题解析：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵BF=ED， ∴OE=OF， ∵OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE∥CF． 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 4．【2017·新疆】如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可； （2）由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE，证出CD∥BE，即可得出结论． 【详解】 （1）证明：∵点C是AB的中点， ∴AC=BC； 在